- Exercício 4: Um comitê de
pessoas deve ser formado a partir de um grupo de
estudantes, onde
são veteranos e
são calouros. Qual a probabilidade de o comitê ter exatamente
veteranos?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, ao formar um comitê de
pessoas a partir de
estudantes (sendo
veteranos e
calouros), o comitê tenha exatamente
veteranos. Informações dadas:
- Tamanho do comitê:
. - Total de estudantes:
. - Veteranos:
. - Calouros:
.
Pergunta: qual é a probabilidade de o comitê conter exatamenteveteranos (logo calouro)?
Passo 2
Entendendo o modelo (por que usar combinações). Cada comitê é um subconjunto de
pessoas escolhido entre
, e a ordem dentro do comitê não importa (um comitê A,B,C é o mesmo que B,C,A). Para contar quantos comitês possíveis existem usamos combinações. A combinação
conta de quantas formas podemos escolher
elementos de um conjunto de
sem considerar a ordem. A fórmula é
onde
(fatorial) é
. Exemplo simples:
porque escolher 1 entre 4 dá quatro possibilidades.
Passo 3
Contando o total de comitês possíveis (espaço amostral). O número total de maneiras de escolher
pessoas entre
é
Explicação curta do cálculo: ao simplificar
por
sobra
; dividir por
dá
.
Passo 4
Contando as maneiras favoráveis (exatamente
veteranos). Para ter exatamente
veteranos e
calouro, fazemos duas escolhas independentes (em sentido de contagem):
- escolher
veteranos entre os : , - escolher
calouro entre os : .
Pelo princípio multiplicativo (escolhas independentes sequenciais), o número de comitês favoráveis é o produto dessas quantidades:
Passo 5
Calculemos essas combinações:
Logo o número de comitês favoráveis é
Passo 6
Calculando a probabilidade. Probabilidade é razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos equiprováveis:
Em forma decimal (usando vírgula conforme convênio):
. Interpretação rápida: metade dos comitês possíveis terá exatamente dois veteranos.