• Exercício 4: Um comitê de \mathbf{3} pessoas deve ser formado a partir de um grupo de \mathbf{1 0} estudantes, onde \mathbf{6} são veteranos e \mathbf{4} são calouros. Qual a probabilidade de o comitê ter exatamente \mathbf{2} veteranos?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao formar um comitê de 3 pessoas a partir de 10 estudantes (sendo 6 veteranos e 4 calouros), o comitê tenha exatamente 2 veteranos. Informações dadas:
  • Tamanho do comitê: 3.
  • Total de estudantes: 10.
  • Veteranos: 6.
  • Calouros: 4.
    Pergunta: qual é a probabilidade de o comitê conter exatamente 2 veteranos (logo 1 calouro)?

Passo 2

Entendendo o modelo (por que usar combinações). Cada comitê é um subconjunto de 3 pessoas escolhido entre 10, e a ordem dentro do comitê não importa (um comitê A,B,C é o mesmo que B,C,A). Para contar quantos comitês possíveis existem usamos combinações. A combinação \binom{n}{k} conta de quantas formas podemos escolher k elementos de um conjunto de n sem considerar a ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplo simples: \binom{4}{1}=4 porque escolher 1 entre 4 dá quatro possibilidades.

Passo 3

Contando o total de comitês possíveis (espaço amostral). O número total de maneiras de escolher 3 pessoas entre 10 é
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
Explicação curta do cálculo: ao simplificar 10! por 7! sobra 10\cdot9\cdot8; dividir por 3! 120.

Passo 4

Contando as maneiras favoráveis (exatamente 2 veteranos). Para ter exatamente 2 veteranos e 1 calouro, fazemos duas escolhas independentes (em sentido de contagem):
  • escolher 2 veteranos entre os 6: \binom{6}{2},
  • escolher 1 calouro entre os 4: \binom{4}{1}.
    Pelo princípio multiplicativo (escolhas independentes sequenciais), o número de comitês favoráveis é o produto dessas quantidades:
\binom{6}{2}\cdot\binom{4}{1}.

Passo 5

Calculemos essas combinações:
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15, \qquad \binom{4}{1}=4.
Logo o número de comitês favoráveis é
15\cdot4=60.

Passo 6

Calculando a probabilidade. Probabilidade é razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos equiprováveis:
P(\text{exatamente 2 veteranos})=\frac{\text{favoráveis}}{\text{total}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}.á
Em forma decimal (usando vírgula conforme convênio): 0,5. Interpretação rápida: metade dos comitês possíveis terá exatamente dois veteranos.

Resposta

\dfrac{1}{2}=0,5

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