Exercício 3: Uma companhia manufatura 4 produtos em duas máquinas. O tempo de processamento (em min.) para processar cada kg de produto em cada máquina é:
Produto Máquina 1 Máquina 2
1 10 27
2 12 19
3 13 33
4 8 23
A receita ( \mathrm{R} \ / \mathrm{kg} ) de cada produto éé\mathrm{R} $30, \mathrm{R} $ 36, \mathrm{R} $51 e\mathrm{R} $ 24 . Os produtos podem ser produzidos em qualquer uma das máquinas. Por condições de mercado, a produção do produto 2 deve ser de pelo menos duas vezes a produção do produto 3. Devido a um contrato, a quantidade a ser produzida do produto 1 deve ser de pelo menos 50 kg . A máquina 1 fica parada (para manutenção)áçõçãçãáçã5 % do tempo e a máquina 2 fica paradaá7 %$ do tempo. Assumindo uma semana de 35 horas, modele o problema de maximizar a receita da semana.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Tempo de processamento (em min por kg):
    • Produto 1: Máquina 1 = 10, Máquina 2 = 27.
    • Produto 2: Máquina 1 = 12, Máquina 2 = 19.
    • Produto 3: Máquina 1 = 13, Máquina 2 = 33.
    • Produto 4: Máquina 1 = 8, Máquina 2 = 23.
  • Receita por kg de cada produto:
    • Produto 1: \mathrm{R}\$\,30.
    • Produto 2: \mathrm{R}\$\,36.
    • Produto 3: \mathrm{R}\$\,51.
    • Produto 4: \mathrm{R}\$\,24.
  • Produtos podem ser produzidos em qualquer máquina (ou seja, pode-se dividir a produção de um produto entre as máquinas).
  • Restrição de mercado: a produção do produto 2 deve ser pelo menos duas vezes a produção do produto 3.
  • Contrato: quantidade do produto 1 deve ser pelo menos 50\\ \text{kg}.
  • Tempo disponível por semana: 35 horas por máquina. Conversão: 35 horas =35\cdot60 minutos.
  • Paradas para manutenção: Máquina 1 parada 5\% do tempo; Máquina 2 parada 7\% do tempo.
O que se pede:
  • Modelar (formular) um problema de otimização que maximize a receita da semana, usando os dados acima e respeitando as restrições. Ou seja, escrever as variáveis de decisão, função objetivo e restrições (modelo em programação linear).

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (explicar por que escolhi estas):
  • Como cada produto pode ser produzido em qualquer máquina e a quantidade pode ser dividida, é natural definir a produção de cada produto em cada máquina.
  • Para i=1,2,3,4 e j=1,2 defino: x_{ij} = \text{kg do produto } i \text{ produzidos na máquina } j.áExemplos concretos: x_{11} é kg do produto 1 feitos na máquina 1; x_{24} não existe porque só há duas máquinas (usar só j=1,2).
Observação didática: variáveis contínuas x_{ij}\ge0 fazem sentido porque produção em kg pode ser considerada contínua; se a prova pedisse inteiros, faríamos variável inteira, mas aqui o enunciado não exige integralidade.

Passo 3

Calcular o tempo disponível (em minutos) em cada máquina durante a semana, levando em conta as paradas.
  • Tempo total por semana em minutos:
    \text{Tempo total} = 35\\ \text{hor} \times 60\\ \frac{\text{min}}{\text{h}} = 35\cdot60 = 2100\\ \text{min}.
  • Máquina 1: parada 5\% do tempo \Rightarrow disponível 95\%:
    \text{Tempo disponível Máquina 1} = 0,95 \times 2100 = 1995\\ \text{min}.íá
  • Máquina 2: parada 7\% do tempo \Rightarrow disponível 93\%:
    \text{Tempo disponível Máquina 2} = 0,93 \times 2100 = 1953\\ \text{min}.íá
Explicação: multiplicou-se o total de minutos pela fração de tempo que a máquina está operacional.

Passo 4

Construir a função objetivo (maximizar receita).
  • Receita total é soma das receitas de cada produto vezes a quantidade total produzida desse produto (soma das duas máquinas).
  • Se r_1=30,\\ r_2=36,\\ r_3=51,\\ r_4=24 denotam as receitas por kg, então a receita total é \text{Receita total} = r_1(x_{11}+x_{12}) + r_2(x_{21}+x_{22}) + r_3(x_{31}+x_{32}) + r_4(x_{41}+x_{42}).
  • A função objetivo (a maximizar) é, portanto, \max\\ Z = 30(x_{11}+x_{12}) + 36(x_{21}+x_{22}) + 51(x_{31}+x_{32}) + 24(x_{41}+x_{42}).
Didática: cada termo r_i(x_{i1}+x_{i2}) representa a receita do produto i somando o que foi feito nas duas máquinas.

Passo 5

Escrever as restrições de capacidade das máquinas (tempo de processamento).
  • Para cada máquina, a soma dos tempos usados para processar todas as quantidades não pode exceder o tempo disponível naquela máquina.
  • Tempo por kg do produto i na máquina j é t_{ij} (dados na tabela). Assim, tempo total usado na máquina 1 é 10x_{11} + 12x_{21} + 13x_{31} + 8x_{41}(cada coeficiente em minutos por kg multiplicado pela quantidade produzida naquela máquina). Essa soma deve ser menor ou igual a 1995 minutos: 10x_{11} + 12x_{21} + 13x_{31} + 8x_{41} \le 1995.
  • Tempo total usado na máquina 2: 27x_{12} + 19x_{22} + 33x_{32} + 23x_{42} \le 1953.
Explicação: a desigualdade é porque não se pode ultrapassar o tempo disponível; se a produção usar menos tempo, sobra capacidade.

Passo 6

Impor as restrições de mercado e contrato mencionadas.
  • Produção total do produto 2 deve ser pelo menos duas vezes a produção total do produto 3: x_{21}+x_{22} \ge 2\,(x_{31}+x_{32}).Explicação: Lado esquerdo é total do produto 2; lado direito é duas vezes o total do produto 3.
  • Quantidade do produto 1 deve ser pelo menos 50\\ \text{kg}: x_{11}+x_{12} \ge 50.

Passo 7

Condições de não negatividade e observações finais.
  • Todas as variáveis não podem ser negativas: x_{ij} \ge 0\quad\text{para } i=1,2,3,4,\\ j=1,2.
  • Observação didática: esse é um modelo de programação linear (função objetivo linear e restrições lineares). Se, na prova, pedirem também a solução numérica, aplicar-se-ia método simplex ou resolver com software. Aqui pediram a modelagem, então paramos na formulação.

Resposta

Variáveis:
x_{ij}=\text{kg do produto }i\text{ produzidos na máquina }j,\quad i=1,2,3,4,\\ j=1,2.á
Função objetivo:
\max\\ Z = 30(x_{11}+x_{12}) + 36(x_{21}+x_{22}) + 51(x_{31}+x_{32}) + 24(x_{41}+x_{42})
Restrições de capacidade (tempos em minutos):
10x_{11} + 12x_{21} + 13x_{31} + 8x_{41} \le 1995
27x_{12} + 19x_{22} + 33x_{32} + 23x_{42} \le 1953
Restrições de mercado e contrato:
x_{21}+x_{22} \ge 2\,(x_{31}+x_{32})
x_{11}+x_{12} \ge 50
Nonnegatividade:
x_{ij}\ge 0\quad\text{para }i=1,2,3,4,\\ j=1,2.

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