Exercício 3: Uma companhia manufatura 4 produtos em duas máquinas. O tempo de processamento (em min.) para processar cada kg de produto em cada máquina é:
Produto
Máquina 1
Máquina 2
1
10
27
2
12
19
3
13
33
4
8
23
A receita (
/ \mathrm{kg}
\mathrm{R} $30, \mathrm{R} $ 36, \mathrm{R} $51
\mathrm{R} $ 24
5 %
7 %$ do tempo. Assumindo uma semana de 35 horas, modele o problema de maximizar a receita da semana.
| Produto | Máquina 1 | Máquina 2 |
| 1 | 10 | 27 |
| 2 | 12 | 19 |
| 3 | 13 | 33 |
| 4 | 8 | 23 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
- Tempo de processamento (em min por kg):
- Produto 1: Máquina 1 =
, Máquina 2 = . - Produto 2: Máquina 1 =
, Máquina 2 = . - Produto 3: Máquina 1 =
, Máquina 2 = . - Produto 4: Máquina 1 =
, Máquina 2 = .
- Produto 1: Máquina 1 =
- Receita por kg de cada produto:
- Produto 1:
. - Produto 2:
. - Produto 3:
. - Produto 4:
.
- Produto 1:
- Produtos podem ser produzidos em qualquer máquina (ou seja, pode-se dividir a produção de um produto entre as máquinas).
- Restrição de mercado: a produção do produto 2 deve ser pelo menos duas vezes a produção do produto 3.
- Contrato: quantidade do produto 1 deve ser pelo menos
. - Tempo disponível por semana:
horas por máquina. Conversão: horas minutos. - Paradas para manutenção: Máquina 1 parada
do tempo; Máquina 2 parada do tempo.
O que se pede:
- Modelar (formular) um problema de otimização que maximize a receita da semana, usando os dados acima e respeitando as restrições. Ou seja, escrever as variáveis de decisão, função objetivo e restrições (modelo em programação linear).
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (explicar por que escolhi estas):
- Como cada produto pode ser produzido em qualquer máquina e a quantidade pode ser dividida, é natural definir a produção de cada produto em cada máquina.
- Para
e defino: Exemplos concretos: é kg do produto 1 feitos na máquina 1; não existe porque só há duas máquinas (usar só ).
Observação didática: variáveis contínuas
fazem sentido porque produção em kg pode ser considerada contínua; se a prova pedisse inteiros, faríamos variável inteira, mas aqui o enunciado não exige integralidade.
Passo 3
Calcular o tempo disponível (em minutos) em cada máquina durante a semana, levando em conta as paradas.
-
Tempo total por semana em minutos:
-
Máquina 1: parada
do tempo disponível : -
Máquina 2: parada
do tempo disponível :
Explicação: multiplicou-se o total de minutos pela fração de tempo que a máquina está operacional.
Passo 4
Construir a função objetivo (maximizar receita).
- Receita total é soma das receitas de cada produto vezes a quantidade total produzida desse produto (soma das duas máquinas).
- Se
denotam as receitas por kg, então a receita total é - A função objetivo (a maximizar) é, portanto,
Didática: cada termo
representa a receita do produto
somando o que foi feito nas duas máquinas.
Passo 5
Escrever as restrições de capacidade das máquinas (tempo de processamento).
- Para cada máquina, a soma dos tempos usados para processar todas as quantidades não pode exceder o tempo disponível naquela máquina.
- Tempo por kg do produto
na máquina é (dados na tabela). Assim, tempo total usado na máquina 1 é (cada coeficiente em minutos por kg multiplicado pela quantidade produzida naquela máquina). Essa soma deve ser menor ou igual a minutos: - Tempo total usado na máquina 2:
Explicação: a desigualdade é porque não se pode ultrapassar o tempo disponível; se a produção usar menos tempo, sobra capacidade.
Passo 6
Impor as restrições de mercado e contrato mencionadas.
- Produção total do produto 2 deve ser pelo menos duas vezes a produção total do produto 3:
Explicação: Lado esquerdo é total do produto 2; lado direito é duas vezes o total do produto 3. - Quantidade do produto 1 deve ser pelo menos
:
Passo 7
Condições de não negatividade e observações finais.
- Todas as variáveis não podem ser negativas:
- Observação didática: esse é um modelo de programação linear (função objetivo linear e restrições lineares). Se, na prova, pedirem também a solução numérica, aplicar-se-ia método simplex ou resolver com software. Aqui pediram a modelagem, então paramos na formulação.
Resposta
Variáveis:
Função objetivo:
Restrições de capacidade (tempos em minutos):
Restrições de mercado e contrato:
Nonnegatividade: