Exercício 2: Uma empresa deseja criar o planejamento da produção de seu produto para os próximos 4 trimestres. Atualmente, ela tem 5000 kg no estoque e as demandas esperadas para os próximos trimestres são:
e
. A empresa tem capacidade para produzir 10.000 kg em cada trimestre a um custo de
1.200,00
\mathrm{R} $1.500,00
\mathrm{R} $ 100,00$ por trimestre. Como a empresa pode satisfazer sua demanda a um custo mínimo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
- Estoque inicial:
kg. - Demandas por trimestre (em kg):
-
- Capacidades e custos de produção por trimestre:
- Produção regular máxima por trimestre:
kg, custo por kg . - Horas-extras (ot): produção adicional máxima por trimestre:
kg, custo por kg .
- Produção regular máxima por trimestre:
- Custo de manter estoque:
por kg por trimestre (cada kg guardado num trimestre custa isso). - O que se pede: determinar como produzir nos 4 trimestres (quanto na produção regular, quanto em horas-extras e inventários finais) para satisfazer todas as demandas ao menor custo possível.
Passo 2
Vou formalizar as variáveis e a equação de balanço de estoques (assim fica claro para a conta).
- Para cada trimestre
defino: -
= produção regular no trimestre . -
= produção em horas-extras no trimestre . -
= estoque ao final do trimestre .
-
- Balanço de estoque (equação de conservação) em cada trimestre:
com
e exigência
.
- Restrições de capacidade:
- Função custo total a minimizar:
Aqui cada termo significa:
-
: custo de produzir kg regular no trimestre . -
: custo da produção por horas-extras. -
: custo de manter kg no final do trimestre .
Passo 3
Raciocínio sobre estratégia: comparar custos unitários para decidir se vale a pena produzir antes (e pagar estoque) ou produzir depois / por horas-extras.
- Produzir 1 kg no trimestre
com produção regular e usá-lo para satisfazer demanda no trimestre tem custo unitário total
pois paga
ao produzir e
por trimestre de estoque para cada trimestre de antecipação.
- Produzir esse mesmo 1 kg por horas-extras no próprio trimestre
custa . - Comparando:
- Se
então é mais barato produzir regular em e estocar até do que usar hora-extra em . - Resolvendo
dá . Ou seja, antecipar até 1 ou 2 trimestres é mais barato que hora-extra; antecipar 3 trimestres torna o custo igual (1200+300=1500).
- Se
- Observação importante: a capacidade total regular disponível nos 4 trimestres é
kg. A produção necessária (demandas totais menos estoque inicial) é
Como
, é possível atender toda a demanda usando somente produção regular (sem horas-extras) se distribuir a produção apropriadamente entre os trimestres, respeitando o limite de
por trimestre. Dado que horas-extras são mais caras por kg que produzir regular imediatamente ou com até 2 trimestres de antecedência, é quase certo que a solução ótima não usará horas-extras. Vou então procurar a melhor distribuição usando só produção regular (poupando custo das horas-extras).
Passo 4
Estratégia prática (regra gulosa ótima neste caso): produzir o mais tarde possível com produção regular, só antecipando quando a capacidade futura regular não for suficiente. Essa regra minimiza custo de estoque porque mantém estoque ao mínimo necessário, e evita horas-extras (mais caros).
Vou verificar trimestre a trimestre.
Trimestre 1:
- Demanda
. - Temos
no início, então necessidade líquida de produção em :
Logo precisamos produzir pelo menos
no trimestre 1. Vou inicialmente atribuir
. Isso deixaria
. Mas preciso checar se, sem antecipar mais em
, a capacidade regular futura consegue atender
. Vou calcular a necessidade acumulada até o fim do trimestre 2:
A capacidade regular acumulada nos trimestres 1 e 2 é
. Para evitar horas-extras, a produção combinada em
e
deve somar
. Se
só puder ser no máximo
, então é necessário que
seja pelo menos
Ou seja, em
devemos produzir no mínimo
(não apenas 2000) para que, somado aos
máximos de
, se alcance os
necessários até o fim do trimestre 2. Conclusão: devemos pôr
.
Calculo do estoque ao fim de
:
Portanto
(esses 5000 servirão para parte da demanda do trimestre 2).
Passo 5
Trimestre 2:
- Demanda
. - Estoque inicial nesse trimestre é
, reduzindo a necessidade líquida a . - A capacidade regular em
é , então basta produzir . - Resultado:
Trimestre 3:
- Demanda
. - Estoque inicial
. - Capacidade regular
cobre exatamente a demanda: . - Então
Trimestre 4:
- Demanda
. - Estoque inicial
. - Produção regular necessária:
. - Estoque final
Resumo das quantidades obtidas (todas em kg):
-
. -
. -
. -
.
Verificação de capacidades: cada
e todos
. Satisfaz demandas e não usa horas-extras.
Passo 6
Cálculo do custo total dessa solução (que, pelo raciocínio anterior, é ótima):
- Custo de produção regular:
Calculo:
-
Custo de produção em horas-extras: zero (não usado).
-
Custo de manter estoques:
- O único estoque positivo ocorreu ao final do trimestre 1:
por um trimestre, gerando custo . -
não geram custo adicional.
- O único estoque positivo ocorreu ao final do trimestre 1:
-
Soma dos custos de estoque:
. -
Custo total:
Passo 7
Interpretação final e justificativa de otimalidade breve:
- Encontramos uma solução sem horas-extras que respeita todas as capacidades. Como a capacidade regular total disponível (40000 kg) é maior que a necessidade total (35000 kg), é possível evitar horas-extras.
- Produzir o mais tarde possível (sujeito à capacidade) minimiza o custo de estoque; onde foi necessário antecipar (em
produzir 7000), foi porque sem essa antecipação haveria necessidade de horas-extras no trimestre 2 ou incapacidade de atender a demanda com produção regular. - Comparações de custos por unidade mostram que antecipar até 2 trimestres (pagando
por trimestre de estoque) continua mais barato que horas-extras; por isso antecipamos apenas o mínimo necessário para evitar horas-extras. - Logo a solução encontrada é ótima: produção regular
; sem horas-extras; custo total mínimo .
Resposta
Produção regular:
Produção em horas-extras:
para
Estoques finais:
Custo total mínimo: