Exercício 2: Uma empresa deseja criar o planejamento da produção de seu produto para os próximos 4 trimestres. Atualmente, ela tem 5000 kg no estoque e as demandas esperadas para os próximos trimestres são: 7.000,15.000,10.000 e 8.000(\mathrm{em} \mathrm{kg}). A empresa tem capacidade para produzir 10.000 kg em cada trimestre a um custo de \mathrm{R} \ 1.200,00 reais por kg . Se usar horas-extras, ela pode produzir um adicional de 2.500 kg a um custo de\mathrm{R} $1.500,00 . A produção de um trimestre pode ser usada para satisfazer a demanda em outro trimestre posterior. Cada kg em estoque custa para a empresaçã\mathrm{R} $ 100,00$ por trimestre. Como a empresa pode satisfazer sua demanda a um custo mínimo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Estoque inicial: I_0 = 5000 kg.
  • Demandas por trimestre (em kg):
    • d_1 = 7000
    • d_2 = 15000
    • d_3 = 10000
    • d_4 = 8000
  • Capacidades e custos de produção por trimestre:
    • Produção regular máxima por trimestre: P^{\text{reg}}_{\max}=10000 kg, custo por kg c^{\text{reg}} = \text{R}\$\,1200.
    • Horas-extras (ot): produção adicional máxima por trimestre: P^{\text{ot}}_{\max}=2500 kg, custo por kg c^{\text{ot}} = \text{R}\$\,1500.
  • Custo de manter estoque: h = \text{R}\$\,100 por kg por trimestre (cada kg guardado num trimestre custa isso).
  • O que se pede: determinar como produzir nos 4 trimestres (quanto na produção regular, quanto em horas-extras e inventários finais) para satisfazer todas as demandas ao menor custo possível.

Passo 2

Vou formalizar as variáveis e a equação de balanço de estoques (assim fica claro para a conta).
  • Para cada trimestre t=1,2,3,4 defino:
    • p_t^{\text{reg}} = produção regular no trimestre t.
    • p_t^{\text{ot}} = produção em horas-extras no trimestre t.
    • I_t = estoque ao final do trimestre t.
  • Balanço de estoque (equação de conservação) em cada trimestre:
I_{t-1} + p_t^{\text{reg}} + p_t^{\text{ot}} - d_t = I_t,\qquad t=1,2,3,4,
com I_0=5000 e exigência I_t\ge 0.
  • Restrições de capacidade:
0 \le p_t^{\text{reg}} \le 10000,\qquad 0 \le p_t^{\text{ot}} \le 2500.
  • Função custo total a minimizar:
\text{Custo}=\sum_{t=1}^{4}\big(1200\\ p_t^{\text{reg}} + 1500\\ p_t^{\text{ot}} + 100\\ I_t\big).
Aqui cada termo significa:
  • 1200\\ p_t^{\text{reg}}: custo de produzir p_t^{\text{reg}} kg regular no trimestre t.
  • 1500\\ p_t^{\text{ot}}: custo da produção por horas-extras.
  • 100\\ I_t: custo de manter I_t kg no final do trimestre t.

Passo 3

Raciocínio sobre estratégia: comparar custos unitários para decidir se vale a pena produzir antes (e pagar estoque) ou produzir depois / por horas-extras.
  • Produzir 1 kg no trimestre t com produção regular e usá-lo para satisfazer demanda no trimestre s\ge t tem custo unitário total
c_{\text{antecipado}} = 1200 + 100\,(s-t),
pois paga 1200 ao produzir e 100 por trimestre de estoque para cada trimestre de antecipação.
  • Produzir esse mesmo 1 kg por horas-extras no próprio trimestre s custa c_{\text{ot}}=1500.
  • Comparando:
    • Se 1200 + 100\,(s-t) < 1500 então é mais barato produzir regular em t e estocar até s do que usar hora-extra em s.
    • Resolvendo 1200 + 100\,(s-t) < 1500 (s-t) < 3. Ou seja, antecipar até 1 ou 2 trimestres é mais barato que hora-extra; antecipar 3 trimestres torna o custo igual (1200+300=1500).
  • Observação importante: a capacidade total regular disponível nos 4 trimestres é 4\cdot10000=40000 kg. A produção necessária (demandas totais menos estoque inicial) é
\sum d_t - I_0 = 40000 - 5000 = 35000\\ \text{kg}.
Como 35000 \le 40000, é possível atender toda a demanda usando somente produção regular (sem horas-extras) se distribuir a produção apropriadamente entre os trimestres, respeitando o limite de 10000 por trimestre. Dado que horas-extras são mais caras por kg que produzir regular imediatamente ou com até 2 trimestres de antecedência, é quase certo que a solução ótima não usará horas-extras. Vou então procurar a melhor distribuição usando só produção regular (poupando custo das horas-extras).

Passo 4

Estratégia prática (regra gulosa ótima neste caso): produzir o mais tarde possível com produção regular, só antecipando quando a capacidade futura regular não for suficiente. Essa regra minimiza custo de estoque porque mantém estoque ao mínimo necessário, e evita horas-extras (mais caros).
Vou verificar trimestre a trimestre.
Trimestre 1:
  • Demanda d_1=7000.
  • Temos I_0=5000 no início, então necessidade líquida de produção em t=1:
\text{necessidade}_1 = d_1 - I_0 = 7000 - 5000 = 2000.
Logo precisamos produzir pelo menos 2000 no trimestre 1. Vou inicialmente atribuir p_1^{\text{reg}}=2000. Isso deixaria I_1=0. Mas preciso checar se, sem antecipar mais em t=1, a capacidade regular futura consegue atender d_2. Vou calcular a necessidade acumulada até o fim do trimestre 2:
\text{produção necessária até }2 = d_1 + d_2 - I_0 = 7000 + 15000 - 5000 = 17000.çãáé
A capacidade regular acumulada nos trimestres 1 e 2 é 2\cdot10000=20000. Para evitar horas-extras, a produção combinada em t=1 e t=2 deve somar 17000. Se p_2^{\text{reg}} só puder ser no máximo 10000, então é necessário que p_1^{\text{reg}} seja pelo menos
17000 - 10000 = 7000.
Ou seja, em t=1 devemos produzir no mínimo 7000 (não apenas 2000) para que, somado aos 10000 máximos de t=2, se alcance os 17000 necessários até o fim do trimestre 2. Conclusão: devemos pôr p_1^{\text{reg}}=7000.
Calculo do estoque ao fim de t=1:
I_1 = I_0 + p_1^{\text{reg}} - d_1 = 5000 + 7000 - 7000 = 5000.
Portanto I_1=5000 (esses 5000 servirão para parte da demanda do trimestre 2).

Passo 5

Trimestre 2:
  • Demanda d_2=15000.
  • Estoque inicial nesse trimestre é I_1=5000, reduzindo a necessidade líquida a 15000-5000=10000.
  • A capacidade regular em t=2 é 10000, então basta produzir p_2^{\text{reg}}=10000.
  • Resultado: I_2 = I_1 + p_2^{\text{reg}} - d_2 = 5000 + 10000 - 15000 = 0.
Trimestre 3:
  • Demanda d_3=10000.
  • Estoque inicial I_2=0.
  • Capacidade regular 10000 cobre exatamente a demanda: p_3^{\text{reg}}=10000.
  • Então I_3 = 0 + 10000 - 10000 = 0.
Trimestre 4:
  • Demanda d_4=8000.
  • Estoque inicial I_3=0.
  • Produção regular necessária: p_4^{\text{reg}}=8000 \le 10000.
  • Estoque final I_4 = 0 + 8000 - 8000 = 0.
Resumo das quantidades obtidas (todas em kg):
  • p_1^{\text{reg}}=7000,\\ p_1^{\text{ot}}=0,\\ I_1=5000.
  • p_2^{\text{reg}}=10000,\\ p_2^{\text{ot}}=0,\\ I_2=0.
  • p_3^{\text{reg}}=10000,\\ p_3^{\text{ot}}=0,\\ I_3=0.
  • p_4^{\text{reg}}=8000,\\ p_4^{\text{ot}}=0,\\ I_4=0.
Verificação de capacidades: cada p_t^{\text{reg}}\le 10000 e todos p_t^{\text{ot}}=0\le 2500. Satisfaz demandas e não usa horas-extras.

Passo 6

Cálculo do custo total dessa solução (que, pelo raciocínio anterior, é ótima):
  • Custo de produção regular:
\sum_{t=1}^{4}1200\,p_t^{\text{reg}} = 1200\cdot(7000+10000+10000+8000)=1200\cdot35000.
Calculo:
1200\cdot35000 = 42\,000\,000\\ \text{(R\$)}.
  • Custo de produção em horas-extras: zero (não usado).
  • Custo de manter estoques:
    • O único estoque positivo ocorreu ao final do trimestre 1: I_1=5000 por um trimestre, gerando custo 100\cdot5000 = 500\,000.
    • I_2=I_3=I_4=0 não geram custo adicional.
  • Soma dos custos de estoque: 500\,000\\ \text{(R\$)}.
  • Custo total:
\text{Custo total} = 42\,000\,000 + 500\,000 = 42\,500\,000\\ \text{R\$}.

Passo 7

Interpretação final e justificativa de otimalidade breve:
  • Encontramos uma solução sem horas-extras que respeita todas as capacidades. Como a capacidade regular total disponível (40000 kg) é maior que a necessidade total (35000 kg), é possível evitar horas-extras.
  • Produzir o mais tarde possível (sujeito à capacidade) minimiza o custo de estoque; onde foi necessário antecipar (em t=1 produzir 7000), foi porque sem essa antecipação haveria necessidade de horas-extras no trimestre 2 ou incapacidade de atender a demanda com produção regular.
  • Comparações de custos por unidade mostram que antecipar até 2 trimestres (pagando 100 por trimestre de estoque) continua mais barato que horas-extras; por isso antecipamos apenas o mínimo necessário para evitar horas-extras.
  • Logo a solução encontrada é ótima: produção regular p_1=7000,\\ p_2=10000,\\ p_3=10000,\\ p_4=8000; sem horas-extras; custo total mínimo \text{R}\$\,42.500.000.

Resposta

Produção regular: p_1^{\text{reg}}=7000,\\ p_2^{\text{reg}}=10000,\\ p_3^{\text{reg}}=10000,\\ p_4^{\text{reg}}=8000.
Produção em horas-extras: p_t^{\text{ot}}=0 para t=1,2,3,4.
Estoques finais: I_1=5000,\\ I_2=0,\\ I_3=0,\\ I_4=0.
Custo total mínimo: \text{R}\$\,42\,500\,000.

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