• Exercício 5: Em um concurso, as notas seguem uma distribuição normal com média 7,0 e desvio padrão 1,0. Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota entre 6,0 e 8,0 ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A distribuição das notas é normal com média \mu = 7,0 e desvio padrão \sigma = 1,0.
  • A pergunta é: qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota entre 6,0 e 8,0? Ou seja, queremos calcular a probabilidade
P(6,0 \le X \le 8,0).

Passo 2

Entendendo o que significam os dados (explicação didática):
  • A média \mu é o valor central em torno do qual as notas se concentram; aqui \mu = 7,0.
  • O desvio padrão \sigma mede a dispersão: quanto maior \sigma, mais espalhadas ficam as notas; aqui \sigma = 1,0.
  • Quando uma variável X tem “distribuição normal” com média \mu e desvio padrão \sigma, costuma-se escrever X \sim N(\mu,\sigma^2). Isso significa que as probabilidades envolvendo X são obtidas usando a forma em “sino” da curva normal.
  • Para calcular probabilidades entre dois valores quaisquer é prático transformar X numa variável padronizada Z (com média 0 e desvio padrão 1). A transformação é a seguinte fórmula (essa é uma ferramenta fundamental que sempre vale decorar):
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.
Aqui Z é a medida de quantos desvios-padrão acima ou abaixo da média está um valor X.

Passo 3

Aplicando a padronização aos limites do problema:
  • Para X = 6,0:
z_1 = \frac{6,0 - 7,0}{1,0} = \frac{-1,0}{1,0} = -1.
  • Para X = 8,0:
z_2 = \frac{8,0 - 7,0}{1,0} = \frac{1,0}{1,0} = 1.
Portanto
P(6,0 \le X \le 8,0) = P(-1 \le Z \le 1),
onde Z é a normal padrão (média 0, desvio 1).

Passo 4

Como obter P(-1 \le Z \le 1) (explicando passo a passo como fazer na prova):
  • Seja \Phi(z) a função de distribuição acumulada da normal padrão, ou seja \Phi(z) = P(Z \le z).
  • A probabilidade desejada pode ser escrita usando \Phi:
P(-1 \le Z \le 1) = \Phi(1) - \Phi(-1).
  • Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: \Phi(-a) = 1 - \Phi(a). Portanto
\Phi(1) - \Phi(-1) = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1.
  • Na prática de prova, para \Phi(1) pode-se:
    • consultar a tabela da normal padrão (tabela z) e ler o valor para z=1,00, ou
    • usar uma calculadora/computador que forneça \Phi(1), ou
    • lembrar um valor padrão comum: \Phi(1) \approx 0,8413. (Esse é um valor padrão que frequentemente aparece em provas.)

Passo 5

Cálculo numérico final (mostrando a conta):
  • Usando \Phi(1) \approx 0,8413,
P(-1 \le Z \le 1) = 2\Phi(1) - 1 = 2\cdot 0,8413 - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826.
  • Convertendo para porcentagem: 0,6826 = 68,26\%.
  • Observação prática (truque rápido para prova): existe a regra prática “68–95–99,7” que diz que, para uma normal, aproximadamente 68{,}27\% dos valores caem dentro de um desvio padrão da média ( \mu \pm 1\sigma). Aqui isso confirma o resultado obtido.

Resposta

68,26\%

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