- Exercício 5: Em um concurso, as notas seguem uma distribuição normal com média 7,0 e desvio padrão 1,0. Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota entre 6,0 e 8,0 ?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A distribuição das notas é normal com média
e desvio padrão . - A pergunta é: qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota entre
e ? Ou seja, queremos calcular a probabilidade
Passo 2
Entendendo o que significam os dados (explicação didática):
- A média
é o valor central em torno do qual as notas se concentram; aqui . - O desvio padrão
mede a dispersão: quanto maior , mais espalhadas ficam as notas; aqui . - Quando uma variável
tem “distribuição normal” com média e desvio padrão , costuma-se escrever . Isso significa que as probabilidades envolvendo são obtidas usando a forma em “sino” da curva normal. - Para calcular probabilidades entre dois valores quaisquer é prático transformar
numa variável padronizada (com média e desvio padrão ). A transformação é a seguinte fórmula (essa é uma ferramenta fundamental que sempre vale decorar):
Aqui
é a medida de quantos desvios-padrão acima ou abaixo da média está um valor
.
Passo 3
Aplicando a padronização aos limites do problema:
- Para
:
- Para
:
Portanto
onde
é a normal padrão (média
, desvio
).
Passo 4
Como obter
(explicando passo a passo como fazer na prova):
- Seja
a função de distribuição acumulada da normal padrão, ou seja . - A probabilidade desejada pode ser escrita usando
:
- Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
. Portanto
- Na prática de prova, para
pode-se: - consultar a tabela da normal padrão (tabela z) e ler o valor para
, ou - usar uma calculadora/computador que forneça
, ou - lembrar um valor padrão comum:
. (Esse é um valor padrão que frequentemente aparece em provas.)
- consultar a tabela da normal padrão (tabela z) e ler o valor para
Passo 5
Cálculo numérico final (mostrando a conta):
- Usando
,
- Convertendo para porcentagem:
. - Observação prática (truque rápido para prova): existe a regra prática “68–95–99,7” que diz que, para uma normal, aproximadamente
dos valores caem dentro de um desvio padrão da média ( ). Aqui isso confirma o resultado obtido.