• Exercício 4: Determine o valor de k tal que P(Z<k)=0,95 na distribuição normal padrão.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de k tal que P(Z<k)=0{,}95 na distribuição normal padrão. Informações dadas e claras:
  • A variável Z é uma normal padrão, ou seja, tem média 0 e desvio-padrão 1.
  • Queremos o ponto k tal que a área à esquerda de k sob a curva da normal padrão seja 0{,}95.

Passo 2

Vamos traduzir isso em linguagem de função-valor da normal padrão. Denotando por \Phi(z) a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão,
\Phi(z)=P(Z\le z),
o enunciado diz simplesmente
\Phi(k)=0{,}95.
Portanto o valor procurado é
k=\Phi^{-1}(0{,}95),
ou seja, o quantil de ordem 0{,}95 da normal padrão: o número que deixa 95\% da área à sua esquerda.

Passo 3

Como se obtém \Phi^{-1}(0{,}95) na prática (modo que se usa em prova):
  • Usando tabela da normal padrão (tabela de \Phi);
  • Usando calculadora científica ou software (R, Python, etc.);
  • Ou interpolando valores da tabela se a tabela não der exatamente 0{,}95.
Na maioria das provas há tabela da normal padrão que dá \Phi(z) para valores de z com duas casas decimais (por exemplo 1{,}64, 1{,}65, …). Vou mostrar a técnica com tabela + interpolação — é o método que você aprende a fazer “na mão” durante a prova.

Passo 4

Lendo uma tabela padrão da normal (a tabela que fornece \Phi(z), a área acumulada desde -\infty até z), encontra-se:
\Phi(1{,}64)=0{,}9495, \qquad \Phi(1{,}65)=0{,}9505.
Esses números são valores da tabela: para z=1{,}64 a área é 0{,}9495 e para z=1{,}65 a área é 0{,}9505.

Passo 5

Queremos o z cuja \Phi(z) seja exatamente 0{,}95. Observando a tabela, 0{,}95 está entre 0{,}9495 (em 1{,}64) e 0{,}9505 (em 1{,}65). Fazemos uma interpolação linear simples entre esses dois pontos:
  • Diferença de probabilidade entre os dois pontos da tabela: 0{,}9505-0{,}9495=0{,}0010.
  • Quanto falta de 0{,}9495 até 0{,}95: 0{,}95-0{,}9495=0{,}0005.
  • Fração no intervalo: \dfrac{0{,}0005}{0{,}0010}=0{,}5.
A diferença de z entre 1{,}64 e 1{,}65 é 0{,}01. Multiplicando essa diferença por 0{,}5 e somando a 1{,}64 obtemos
k \approx 1{,}64 + 0{,}01\cdot 0{,}5 = 1{,}645.

Passo 6

Comentário final sobre precisão: o valor mais preciso (usando inversa numérica) é k\approx 1{,}6448536\ldots, mas em provas e tabelas o valor arredondado habitual é k=1{,}645. Então esse é o resultado que se espera.

Resposta

k \approx 1{,}645

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