- Exercício 4: Determine o valor de
tal que
na distribuição normal padrão.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
tal que
na distribuição normal padrão. Informações dadas e claras:
- A variável
é uma normal padrão, ou seja, tem média e desvio-padrão . - Queremos o ponto
tal que a área à esquerda de sob a curva da normal padrão seja .
Passo 2
Vamos traduzir isso em linguagem de função-valor da normal padrão. Denotando por
a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão,
o enunciado diz simplesmente
Portanto o valor procurado é
ou seja, o quantil de ordem
da normal padrão: o número que deixa
da área à sua esquerda.
Passo 3
Como se obtém
na prática (modo que se usa em prova):
- Usando tabela da normal padrão (tabela de
); - Usando calculadora científica ou software (R, Python, etc.);
- Ou interpolando valores da tabela se a tabela não der exatamente
.
Na maioria das provas há tabela da normal padrão que dá
para valores de
com duas casas decimais (por exemplo
,
, …). Vou mostrar a técnica com tabela + interpolação — é o método que você aprende a fazer “na mão” durante a prova.
Passo 4
Lendo uma tabela padrão da normal (a tabela que fornece
, a área acumulada desde
até
), encontra-se:
Esses números são valores da tabela: para
a área é
e para
a área é
.
Passo 5
Queremos o
cuja
seja exatamente
. Observando a tabela,
está entre
(em
) e
(em
). Fazemos uma interpolação linear simples entre esses dois pontos:
- Diferença de probabilidade entre os dois pontos da tabela:
. - Quanto falta de
até : . - Fração no intervalo:
.
A diferença de
entre
e
é
. Multiplicando essa diferença por
e somando a
obtemos
Passo 6
Comentário final sobre precisão: o valor mais preciso (usando inversa numérica) é
, mas em provas e tabelas o valor arredondado habitual é
. Então esse é o resultado que se espera.