Exercício 8 - Conexão teoria cinética e condutividade elétrica em gases

Explique por que um gás rarificado (nobre) em condições normais é isolante, mas pode tornar-se condutor quando ionizado, relacionando isso à natureza elétrica da matéria.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que um gás rarificado (nobre) em condições normais é isolante, mas pode tornar‑se condutor quando ionizado, relacionando isso à natureza elétrica da matéria.
Informações relevantes dadas ou implicitamente necessárias para a explicação:
  • Trata‑se de um gás rarificado, do tipo nobre (átomos monoatômicos, químicamente inertes).
  • “Condições normais” significa temperatura ambiente e pressão atmosférica (logo, energia térmica típica disponível é baixa).
  • O gás é isolante nessas condições, mas se ionizado (isto é, se alguns átomos perdem elétrons) ele passa a conduzir eletricidade.
    A partir daqui vamos explicar passo a passo por quê, mostrando as fórmulas e conceitos usados.

Passo 2

O que significa ser condutor ou isolante do ponto de vista elétrico? Vou definir a grandeza chave e dar a interpretação microscópica.
Definição macroscópica: a condutividade elétrica é o coeficiente \sigma que liga a densidade de corrente \mathbf{J} ao campo elétrico \mathbf{E} pela lei de Ohm local:
\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}.
Aqui \mathbf{J} tem unidade de corrente por área ( \mathrm{A/m^2}), \mathbf{E} é o campo elétrico ( \mathrm{V/m}) e \sigma é a condutividade ( \mathrm{S/m}).
Interpretação microscópica: a corrente elétrica surge do movimento ordenado de cargas livres. Se houver partículas carregadas livres com densidade numérica n (número de portadores por volume) e cada portador tem carga q e velocidade média de deriva (drift) \mathbf{v}_d, então a densidade de corrente é
\mathbf{J} = n q \mathbf{v}_d.
Se a velocidade de deriva é proporcional ao campo elétrico, escrevemos \mathbf{v}_d = \mu \mathbf{E}, onde \mu é a mobilidade dos portadores (medida de quão rápido uma carga responde a um campo). Substituindo obtemos
\mathbf{J} = n q \mu \mathbf{E},
logo a condutividade é
\sigma = n q \mu.
Explicando cada símbolo: n = densidade de portadores livres ( \mathrm{m^{-3}}), q = carga de cada portador ( \mathrm{C}), \mu = mobilidade ( \mathrm{m^2/(V\cdot s)}). Portanto, para termos corrente precisamos de portadores livres ( n>0) e mobilidade não nula.

Passo 3

Por que um gás nobre neutro em condições normais é isolante? Vamos olhar para os átomos e as energias envolvidas.
Átomo neutro: cada átomo tem elétrons ligados ao núcleo; globalmente o átomo é eletricamente neutro (números de cargas positivas e negativas se compensam). Em um gás neutro, não há um número significativo de cargas livres separadas — os elétrons estão ligados aos átomos. Assim, a densidade de portadores livres n é essencialmente zero, e pela fórmula \sigma = n q \mu a condutividade também é praticamente zero.
Energia térmica disponível: à temperatura ambiente ( T\approx 300\\ \mathrm{K}) a energia térmica típica por partícula é da ordem de k_B T, onde k_B é a constante de Boltzmann. Numericamente,
k_B T \approx 0,026\\ \mathrm{eV}.
As energias de ionização dos gases nobres são muito maiores (por exemplo, \mathrm{He}:\,24{,}6\\ \mathrm{eV}, \mathrm{Ne}:\,21{,}6\\ \mathrm{eV}, \mathrm{Ar}:\,15{,}8\\ \mathrm{eV}). Como k_B T é muito menor que a energia de ionização, quase nenhum átomo se ioniza termicamente. Portanto, sem ionização externa não há elétrons livres suficientes e o gás comporta‑se como isolante.
Resumo desta etapa: elétrons ligados = sem portadores livres ( n\approx 0) ⇒ \sigma\approx 0 ⇒ isolante.

Passo 4

O que muda quando o gás é ionizado? O que significa ionizar?
Ionização significa arrancar elétrons dos átomos, transformando alguns átomos neutros em íons positivos e liberando elétrons livres. Fontes de ionização: radiação (fótons de alta energia), descargas elétricas (campo forte causando impacto entre partículas), aquecimento extremo (temperatura muito alta), ou colisões aceleradas.
Efeito direto na condutividade: ao ionizar, a densidade de portadores livres n passa de praticamente zero para um valor positivo significativo (contando elétrons livres e íons). Aplicando
\sigma = n q \mu,
aumenta n e portanto aumenta \sigma. Para um tratamento mais físico (modelo de Drude para elétrons) podemos escrever, para elétrons como portadores,
\sigma = n_e e^2 \frac{\tau}{m_e},
onde n_e é a densidade de elétrons livres, e é a carga elementar, \tau é o tempo médio entre colisões (tempo de espalhamento) e m_e é a massa do elétron. Aqui a mobilidade \mu aparece como \mu = e \tau / m_e. Explicando variáveis: e em \mathrm{C}, \tau em \mathrm{s}, m_e em \mathrm{kg}.
Por que os elétrons dominam a condução? Porque têm massa muito pequena ( m_e) e, para a mesma \tau, dão mobilidade \mu muito maior que as dos íons (que são centenas ou milhares de vezes mais massivos). Assim, mesmo quando há íons e elétrons, os elétrons responsáveis pela maior parte da corrente.

Passo 5

Efeitos práticos e condições: por que nem todo pequeno número de íons torna o gás um “bom” condutor?
  • Grau de ionização: a condutividade depende fortemente de n. Um grau de ionização muito pequeno (por exemplo, uma parte em 10^{12} de átomos ionizados) ainda dá condutividade quase nula; mas graus maiores (plasma parcial) já levam a condutividades mensuráveis.
  • Colisões e pressão: em pressão mais alta há muitos choques e \tau reduz; isso diminui \mu e \sigma. Em gases rarificados \tau pode aumentar, o que ajuda a mobilidade dos elétrons.
  • Campo elétrico e avalanche: com campo elétrico forte, elétrons livres ganham energia suficiente entre colisões para ionizar outros átomos (ionização por impacto), gerando avalanche e descarga — é assim que se forma uma corrente macroscópica (faísca, arco). A tensão necessária para iniciar isso depende do produto pressão × distância; esse comportamento é descrito pela lei de Paschen (não preciso entrar no detalhe matemático aqui, apenas dizer que existe uma curva característica).
Portanto, ionização suficiente + mobilidade razoável ⇒ transição para comportamento condutor (plasma). Sem ionização suficiente ⇒ isolante.

Passo 6

Ligando tudo à “natureza elétrica da matéria” de forma direta e intuitiva:
  • Matéria é feita de cargas (prótons e elétrons). Em um átomo neutro essas cargas estão ligadas entre si, formando uma entidade eletricamente neutra que não transporta corrente elétrica sob um campo.
  • Condução elétrica exige cargas livres que possam se mover sob a ação do campo. O ato de ionizar separa cargas (elétrons livres e íons), criando exatamente esses portadores livres.
  • Assim, a diferença entre isolante e condutor em gases não é um mistério exótico: é simplesmente se há ou não cargas móveis suficientes. Em sólidos essa disponibilidade vem das bandas eletrônicas; em gases neutros, só aparece mediante ionização.

Passo 7

Pequeno exemplo numérico ilustrativo (facilitador de intuição): imagine um gás com densidade atômica N\approx 10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}} (ordem da atmosfera). Se apenas uma parte em 10^{12} dos átomos fica ionizada, a densidade de elétrons livres é
n_e \approx \frac{10^{25}}{10^{12}} = 10^{13}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Usando a expressão de Drude e valores típicos grosseiros ( e\approx 1{,}6\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}, m_e\approx 9{,}11\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}, \tau muito pequeno num gás em pressão atmosférica, digamos \tau\approx 10^{-12}\\ \mathrm{s}), teríamos uma condutividade muito baixa. Se n_e crescer muito (por exemplo, n_e\sim 10^{18}\\ \mathrm{m^{-3}} ou mais), a condutividade já fica claramente mensurável. O objetivo aqui é ver que tanto n_e quanto \tau influenciam fortemente \sigma.

Passo 8

Resumo final para a prova (passo a passo mental que você pode escrever de forma curta):
  1. Um gás nobre neutro tem elétrons ligados e, portanto, praticamente nenhum portador livre ( n\approx 0) → \sigma\approx 0 → isolante.
  2. Ionização cria elétrons e íons livres; esses portadores dão origem a corrente porque \mathbf{J}=n q \mu \mathbf{E} → aumenta \sigma e o gás passa a conduzir.
  3. A eficácia da condução depende do nível de ionização ( n) e da mobilidade/tempo entre colisões ( \mu ou \tau); elétrons leves são os principais responsáveis pela condutividade.
Força‑se essa estrutura na prova: escreva a relação microscópica \mathbf{J}=n q \mathbf{v}_d, use \mathbf{v}_d=\mu\mathbf{E} para chegar em \sigma=n q \mu e, se quiser, exponha a forma de Drude \sigma=n_e e^2 \tau/m_e. Isso mostra claramente o papel de liberar cargas para obter condução.

Resposta

Um gás nobre neutro é isolante porque seus elétrons estão ligados aos átomos, logo não existem cargas livres ( n\approx 0) para formar corrente, o que implica \sigma\approx 0. Ao ionizar o gás, geram‑se elétrons e íons livres (aumentando n), e como a condutividade é proporcional a n (por exemplo \sigma=n_e e^2 \tau/m_e no modelo de Drude), o gás passa a conduzir eletricidade; em resumo: sem ionização não há portadores livres → isolante; com ionização há portadores livres → condutor.

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