Exercício 7 - Ordem de grandeza de cargas

Calcule a razão entre a carga total dos elétrons em 1 mol de elétrons e a carga elementar e. Explique o significado físico do resultado.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a razão entre a carga total dos elétrons contidos em 1 mol de elétrons e a carga elementar \,e. Em outras palavras, devemos calcular
\frac{Q_{\text{total}}}{e}.
Dados relevantes (valores usuais que vamos usar):
e = -1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\quad(\text{carga de um elétron}),é
N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}\quad(\text{número de Avogadro, i.e., elétrons por mol}).úé
Observação: o enunciado não pede explicitamente o valor numérico da carga total em coulombs, mas esse valor é útil para interpretar o resultado; se precisarmos, usaremos Q_{\text{total}} = N_A\cdot e.

Passo 2

Entendendo como montar a expressão: se eu tenho 1 mol de elétrons, o número total de elétrons é N_A. Cada elétron carrega a carga \,e. Logo a carga total desse conjunto é o produto do número de partículas pela carga por partícula:
Q_{\text{total}} = N_A \cdot e.
Explicação didática: multiplicar “quantidade de partículas” por “carga por partícula” é exatamente como contamos carga total — se eu tenho 10 moedas de 1 real cada, a soma é 10\times1 real; aqui é análogo, só que as “moedas” são cargas elementares.

Passo 3

Agora vamos formar a razão pedida:
\frac{Q_{\text{total}}}{e}=\frac{N_A\cdot e}{e}.
Fazendo a simplificação algébrica (corta-se e acima e abaixo):
\frac{Q_{\text{total}}}{e}=N_A.
Interpretação imediata: dividir a carga total pela carga elementar dá exatamente o número de elétrons presentes — faz sentido físico: quantos “pacotes” elementares de carga existem naquele total? A resposta é o número de pacotes, que é N_A para um mol.

Passo 4

Comentário sobre o sinal: usamos e com sinal negativo porque o elétron tem carga negativa; calculando Q_{\text{total}}=N_A\cdot e obtemos um valor negativo (carga total negativa), e ao dividir por e o sinal se cancela, ficando o resultado numérico positivo N_A. Ou seja, \dfrac{Q_{\text{total}}}{e}=N_A sem ambiguidade de sinal.

Passo 5

Cálculo numérico opcional (útil para ver o tamanho em coulombs): multiplicando mantissas e expoentes temos
Q_{\text{total}}=N_A\cdot e=(6,022\times10^{23})\cdot(-1,602\times10^{-19})\\ \mathrm{C}.
Multiplicando os números: 6,022\times1,602\approx9,648 e somando expoentes 10^{23}\cdot10^{-19}=10^{4}, então
Q_{\text{total}}\approx -9,648\times10^{4}\\ \mathrm{C} = -9,6485\times10^{4}\\ \mathrm{C}\approx -96485\\ \mathrm{C}.
Este valor absoluto 9,6485\times10^{4}\\ \mathrm{C/mol} é conhecido como constante de Faraday F. Novamente, dividir esse Q_{\text{total}} por e recupera N_A.

Passo 6

Significado físico resumido e incentivo: a razão pedida é simplesmente o número de Avogadro N_A. Fisicamente isso diz que a carga total de um mol de elétrons contém exatamente N_A cargas elementares — dividir uma carga macroscópica (em coulombs) pela carga de cada elétron conta quantos elétrons existem. É a ponte entre a escala microscópica (carga de um elétron) e a escala macroscópica (coulomb por mol). Você conseguiu — o cálculo é simples quando se vê que estamos apenas contando quantas cargas elementares existem num mol!

Resposta

\dfrac{Q_{\text{total}}}{e}=N_A\approx 6,022\times10^{23}.
Significado: corresponde ao número de elétrons em 1 mol, ou seja, à quantidade de cargas elementares contidas nesse mol.

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