Exercício 9: Considerando o estado do exercício passado, calcule os valores médios de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os valores médios
,
,
e
“considerando o estado do exercício passado”. Informações relevantes que o enunciado deveria conter (mas que não foram enviadas aqui) e que são necessárias para calcular esses valores:
- A função de onda
(ou o vetor de estado ) completa do sistema, incluindo domínio e se ela é normalizada; - Se o movimento é unidimensional (pressuposto usual aqui) e a base em que se quer calcular (presumirei base de posição);
- Condições de contorno (por ex.
quando , ou domínio finito como uma caixa de largura ).
Sem essa informação explícita não é possível obter números ou expressões específicas. A seguir eu explico detalhadamente COMO se calcula cada valor médio a partir de uma função de onda dada — para você aplicar na hora da prova assim que tiver o
do “exercício passado”.
Passo 2
Fórmulas principais (posição e momento na representação de posição). Vou assumir movimento em uma dimensão e usar a convenção usual com
.
- Normalização: a função de onda precisa satisfazer
Aqui
é o conjugado complexo de
.
- Valor médio de
:
Significado: multiplica-se a densidade de probabilidade
pela posição
e integra-se.
- Valor médio de
:
- Operador momento (na representação de posição):
Logo
- Operador
:
logo
Passo 3
Como proceder passo a passo (receita prática que dá para fazer na prova):
- Verifique se
está normalizada. Se não estiver, calcule a constante tal que satisfaz . - Calcule
realizando a integral . Se for real e/ou simétrica/anti-simétrica você pode usar simetrias para simplificar (ex.: função par → ; função ímpar → também). - Calcule
com . Geralmente essa integral existe e é positiva. - Para
faça a integral com . Se a função de onda decai a zero nas fronteiras (p.ex. ) e é real, muitas vezes . Uma técnica útil é integração por partes para transformar a integral em algo mais conveniente (ver passo 4). - Para
derivar duas vezes e calcular a integral. Cuidado com sinais e com a regularidade da função (derivadas devem existir).
Passo 4
Detalhes úteis e demonstrações curtas (ferramentas que entram na prova):
- Normalização (exemplo de procedimento): se
com conhecido, calcule
- Propriedade de
ser real (usar integração por partes):
Integração por partes (tomando
,
) dá
Se
nas fronteiras o termo de contorno some, e então
que é manifestamente igual ao conjugado de si mesmo (ou seja, real). Se
for real,
também real, então
.
- Relação com energia cinética:
Então frequentemente
pode ser obtido multiplicando a energia cinética média por
.
Passo 5
Alternativa: cálculo no espaço do momento (às vezes mais simples)
- Transformada de Fourier (normalização unitária usada aqui):
No espaço do momento:
Às vezes
tem forma simples e essas integrais ficam triviais.
Passo 6
Exemplo concreto (padrão de prova): autovalores da partícula na caixa infinita
. Se o “estado do exercício passado” for a autofunção estacionária
-ésima
então os valores médios são conhecidos e fáceis de memorizar/aplicar:
-
(pela simetria do quadrado da função de onda no intervalo). -
. -
(estado estacionário com módulo da função simétrico produz média do momento zero). -
(porque a energia cinética é e ).
Se o seu estado for esse (ou uma combinação linear deles), aplique essas fórmulas; se for uma combinação, lembre-se de incluir termos de interferência cruzada nas integrais.
Passo 7
Resumo prático para a prova (checklist rápido):
- Passo A: Identifique
e o domínio. - Passo B: Normalize
(se necessário). - Passo C: Calcule
e por integrais diretas; use simetrias para simplificar. - Passo D: Use
para e para ; se preferir, calcule e avalie as integrais em . - Passo E: Verifique se as condições de contorno anulam termos de borda na integração por partes.
- Passo F: Cheque consistência dimensional e sinais;
, .
Resposta
Não é possível calcular
,
,
e
porque o estado (por exemplo a função de onda
ou o vetor de estado) do exercício passado não foi fornecido.