Exercício 9: Considerando o estado do exercício passado, calcule os valores médios de x, x^{2}, p e p^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os valores médios \langle x\rangle, \langle x^{2}\rangle, \langle p\rangle e \langle p^{2}\rangle “considerando o estado do exercício passado”. Informações relevantes que o enunciado deveria conter (mas que não foram enviadas aqui) e que são necessárias para calcular esses valores:
  • A função de onda \psi(x) (ou o vetor de estado |\psi\rangle) completa do sistema, incluindo domínio e se ela é normalizada;
  • Se o movimento é unidimensional (pressuposto usual aqui) e a base em que se quer calcular (presumirei base de posição);
  • Condições de contorno (por ex. \psi(x)\to0 quando |x|\to\infty, ou domínio finito como uma caixa de largura a).
Sem essa informação explícita não é possível obter números ou expressões específicas. A seguir eu explico detalhadamente COMO se calcula cada valor médio a partir de uma função de onda dada — para você aplicar na hora da prova assim que tiver o \psi do “exercício passado”.

Passo 2

Fórmulas principais (posição e momento na representação de posição). Vou assumir movimento em uma dimensão e usar a convenção usual com \hbar.
  • Normalização: a função de onda precisa satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x)\,\psi(x)\,dx = 1.
Aqui \psi^{*}(x) é o conjugado complexo de \psi(x).
  • Valor médio de x:
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x)\,x\,\psi(x)\,dx.
Significado: multiplica-se a densidade de probabilidade \psi^{*}\psi pela posição x e integra-se.
  • Valor médio de x^{2}:
\langle x^{2}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x)\,x^{2}\,\psi(x)\,dx.
  • Operador momento (na representação de posição):
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx}.
Logo
\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x)\,dx.
  • Operador p^{2}:
\hat p^{2} = -\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}},
logo
\langle p^{2}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x)\left(-\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right)\psi(x)\,dx.

Passo 3

Como proceder passo a passo (receita prática que dá para fazer na prova):
  1. Verifique se \psi(x) está normalizada. Se não estiver, calcule a constante N tal que \psi_{\rm norm}(x)=N\psi(x) satisfaz \int \psi_{\rm norm}^* \psi_{\rm norm}\,dx=1.
  2. Calcule \langle x\rangle realizando a integral \int \psi^{*} x \psi\,dx. Se \psi for real e/ou simétrica/anti-simétrica você pode usar simetrias para simplificar (ex.: função par → \langle x\rangle=0; função ímpar → \langle x\rangle=0 também).
  3. Calcule \langle x^{2}\rangle com \int \psi^{*} x^{2} \psi\,dx. Geralmente essa integral existe e é positiva.
  4. Para \langle p\rangle faça a integral com -i\hbar\frac{d}{dx}. Se a função de onda decai a zero nas fronteiras (p.ex. \psi(\pm\infty)=0) e \psi é real, muitas vezes \langle p\rangle=0. Uma técnica útil é integração por partes para transformar a integral em algo mais conveniente (ver passo 4).
  5. Para \langle p^{2}\rangle derivar duas vezes \psi(x) e calcular a integral. Cuidado com sinais e com a regularidade da função (derivadas devem existir).

Passo 4

Detalhes úteis e demonstrações curtas (ferramentas que entram na prova):
  • Normalização (exemplo de procedimento): se \psi(x)=A f(x) com f conhecido, calcule
1=\int_{-\infty}^{\infty} |A|^{2}|f(x)|^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{\sqrt{\int |f(x)|^{2}\,dx}}.
  • Propriedade de \langle p\rangle ser real (usar integração por partes):
\langle p\rangle = -i\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}\psi'\,dx.
Integração por partes (tomando u=\psi^{*}, dv=\psi'\,dx) dá
\langle p\rangle = -i\hbar\Big[ \psi^{*}\psi\Big]_{-\infty}^{\infty} + i\hbar\int_{-\infty}^{\infty} (\psi^{*})'\psi\,dx.
Se \psi\to0 nas fronteiras o termo de contorno some, e então
\langle p\rangle = \frac{-i\hbar}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\psi^{*}\psi' - (\psi^{*})'\psi\right)\,dx,
que é manifestamente igual ao conjugado de si mesmo (ou seja, real). Se \psi for real, \psi' também real, então \langle p\rangle=0.
  • Relação com energia cinética:
\langle T\rangle = \frac{\langle p^{2}\rangle}{2m}.
Então frequentemente \langle p^{2}\rangle pode ser obtido multiplicando a energia cinética média por 2m.

Passo 5

Alternativa: cálculo no espaço do momento (às vezes mais simples)
  • Transformada de Fourier (normalização unitária usada aqui):
\varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ipx/\hbar}\psi(x)\,dx.
No espaço do momento:
\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}(p)\,p\,\varphi(p)\,dp, \qquad \langle p^{2}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{*}(p)\,p^{2}\,\varphi(p)\,dp.
Às vezes \varphi(p) tem forma simples e essas integrais ficam triviais.

Passo 6

Exemplo concreto (padrão de prova): autovalores da partícula na caixa infinita [0,a]. Se o “estado do exercício passado” for a autofunção estacionária n-ésima
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad 0<x<a,
então os valores médios são conhecidos e fáceis de memorizar/aplicar:
  • \langle x\rangle = \dfrac{a}{2} (pela simetria do quadrado da função de onda no intervalo).
  • \langle x^{2}\rangle = a^{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2n^{2}\pi^{2}}\right).
  • \langle p\rangle = 0 (estado estacionário com módulo da função simétrico produz média do momento zero).
  • \langle p^{2}\rangle = \dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{a^{2}} (porque a energia cinética é E_{n}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m a^{2}} e \langle p^{2}\rangle=2mE_{n}).
Se o seu estado for esse (ou uma combinação linear deles), aplique essas fórmulas; se for uma combinação, lembre-se de incluir termos de interferência cruzada nas integrais.

Passo 7

Resumo prático para a prova (checklist rápido):
  • Passo A: Identifique \psi(x) e o domínio.
  • Passo B: Normalize \psi (se necessário).
  • Passo C: Calcule \langle x\rangle e \langle x^{2}\rangle por integrais diretas; use simetrias para simplificar.
  • Passo D: Use \hat p=-i\hbar d/dx para \langle p\rangle e \hat p^{2}=-\hbar^{2}d^{2}/dx^{2} para \langle p^{2}\rangle; se preferir, calcule \varphi(p) e avalie as integrais em p.
  • Passo E: Verifique se as condições de contorno anulam termos de borda na integração por partes.
  • Passo F: Cheque consistência dimensional e sinais; \langle p^{2}\rangle\ge 0, \langle x^{2}\rangle\ge 0.

Resposta

Não é possível calcular \langle x\rangle, \langle x^{2}\rangle, \langle p\rangle e \langle p^{2}\rangle porque o estado (por exemplo a função de onda \psi(x) ou o vetor de estado) do exercício passado não foi fornecido.

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