• 35 O potencial elétrico no plano x y é dado por V=\left(2,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}^{2}\right) x^{2}-\left(3,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}^{2}\right) y^{2}. Qual é o campo elétrico no ponto ( 3,0 \mathrm{~m} ; 2,0 \mathrm{~m} ) na notação dos vetores unitários?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico no plano xy e pede o campo elétrico no ponto indicado. Informações fornecidas:
  • Potencial: V=\left(2,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)x^{2}-\left(3,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)y^{2}.
  • Ponto onde pedir: \left(3,0\\ \mathrm{m};\\\ 2,0\\ \mathrm{m}\right).
  • O que é pedido: o vetor campo elétrico \mathbf{E} naquele ponto, escrito na notação de vetores unitários (por exemplo \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}}) e com unidades.

Passo 2

Recordando a relação entre potencial e campo elétrico: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Em fórmula:
\mathbf{E}=-\nabla V.
Aqui \nabla V (o gradiente de V) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de V:
\nabla V=\frac{\partial V}{\partial x}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial V}{\partial y}\,\hat{\mathbf{j}}.
Explicando: \frac{\partial V}{\partial x} significa derivar V em relação a x tratando y como constante; análogo para \frac{\partial V}{\partial y}. O sinal negativo em \mathbf{E}=-\nabla V indica que o campo aponta na direção de maior diminuição do potencial.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de V. Escrevendo V como V=a\,x^{2}+b\,y^{2} com os sinais apropriados, aqui a=2,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2} e b=-3,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}. Derivando:
\frac{\partial V}{\partial x}=2a\,x.
Substituindo a:
\frac{\partial V}{\partial x}=2\cdot\left(2,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)\,x=\left(4,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)\,x.
Agora a derivada em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y}=2b\,y.
Como b=-3,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2},
\frac{\partial V}{\partial y}=2\cdot\left(-3,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)\,y=\left(-6,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)\,y.
Cheque de unidades: \partial V/\partial x tem unidade \mathrm{V}/\mathrm{m} porque (\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2})\times \mathrm{m}=\mathrm{V}/\mathrm{m}, como esperado para componentes de campo elétrico.

Passo 4

Aplicando \mathbf{E}=-\nabla V obtemos as componentes do campo:
E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}=-\left(4,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)x, \qquad E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}=-\left(-6,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)y=\left(6,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)y.

Passo 5

Agora avaliamos em x=3,0\\ \mathrm{m} e y=2,0\\ \mathrm{m}.
Calcule E_x:
E_x=-\left(4,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)\cdot 3,0\\ \mathrm{m}=-12,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Calcule E_y:
E_y=\left(6,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}\right)\cdot 2,0\\ \mathrm{m}=12,0\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.

Passo 6

Escrevendo o vetor campo elétrico na notação com vetores unitários:
\mathbf{E}=-12,0\,\hat{\mathbf{i}}+12,0\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Interpretação rápida: o campo tem componente negativa em x (aponta para -x) e componente positiva em y (aponta para +y), com magnitudes iguais neste ponto.

Resposta

\mathbf{E}=-12,0\,\hat{\mathbf{i}}+12,0\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}

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