Exercício 6: Calcule a densidade de probabilidade associada ao ground-state do oscilador harmônico da questão anterior.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a densidade de probabilidade associada ao estado fundamental (ground-state) do oscilador harmônico unidimensional. Vou partir da forma padrão do autoestado fundamental, que é dada (valor que normalmente vem da resolução do problema anterior) por
onde as constantes são:
-
= massa da partícula; -
= frequência angular do oscilador; -
= constante de Planck reduzida; -
= coordenada espacial (posição).
A tarefa é obter a densidade de probabilidade no espaço de posições, isto é, a funçãoassociada a .
Passo 2
O que é a densidade de probabilidade em mecânica quântica (no espaço de posições)?
A densidade de probabilidade associada a uma função de onda
é definida por
A densidade de probabilidade
ou seja, o módulo quadrado da função de onda. Essa função satisfaz a propriedade de normalização
que garante que a partícula esteja em algum lugar real com probabilidade total
.
Passo 3
Observação sobre a função de onda do ground-state:
é real (não tem fator imaginário), portanto o módulo quadrado é simplesmente o quadrado:
Ao elevar ao quadrado, a parte prefatorial fica com potência
e o expoente duplica. Assim
Essa é a expressão candidata para a densidade de probabilidade. A seguir verificamos a normalização (para garantir que o prefator está correto).
Passo 4
Verificação da normalização usando a integral gaussiana. Precisamos checar que
Substituindo
:
Recorde útil: para
,
(Isto pode ser mostrado multiplicando a integral por ela mesma, passando a coordenadas polares e usando que a área em coordenadas polares dá
; é a integral gaussiana padrão.) Aqui
, então
Substituindo na integral de normalização:
Portanto o prefator está correto e
está normalizada.
Passo 5
Interpretação e forma alternativa (útil na prova): a densidade é uma gaussiana centrada em
, com largura característica dada pelo comprimento harmônico
Escrever
em termos de
dá uma forma compacta:
Essa forma é útil para interpretar a escala espacial da função de probabilidade: aproximadamente
da probabilidade está numa faixa de ordem
em torno de zero (analogia com desvio padrão de uma gaussiana).
Resposta
ou, equivalentemente,