Exercício 6: Calcule a densidade de probabilidade associada ao ground-state do oscilador harmônico da questão anterior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade de probabilidade associada ao estado fundamental (ground-state) do oscilador harmônico unidimensional. Vou partir da forma padrão do autoestado fundamental, que é dada (valor que normalmente vem da resolução do problema anterior) por
\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\!\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right),
onde as constantes são:
  • m = massa da partícula;
  • \omega = frequência angular do oscilador;
  • \hbar = constante de Planck reduzida;
  • x = coordenada espacial (posição).
    A tarefa é obter a densidade de probabilidade no espaço de posições, isto é, a função \rho(x) associada a \psi_0(x).

Passo 2

O que é a densidade de probabilidade em mecânica quântica (no espaço de posições)?
A densidade de probabilidade \rho(x) associada a uma função de onda \psi(x) é definida por
\rho(x)=|\psi(x)|^2,
ou seja, o módulo quadrado da função de onda. Essa função satisfaz a propriedade de normalização
\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x)\,dx=1,
que garante que a partícula esteja em algum lugar real com probabilidade total 1.

Passo 3

Observação sobre a função de onda do ground-state: \psi_0(x) é real (não tem fator imaginário), portanto o módulo quadrado é simplesmente o quadrado:
\rho_0(x)=|\psi_0(x)|^2=\left[\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\!\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right)\right]^2.
Ao elevar ao quadrado, a parte prefatorial fica com potência 1/2 e o expoente duplica. Assim
\rho_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\exp\!\left(-\frac{m\omega x^2}{\hbar}\right).
Essa é a expressão candidata para a densidade de probabilidade. A seguir verificamos a normalização (para garantir que o prefator está correto).

Passo 4

Verificação da normalização usando a integral gaussiana. Precisamos checar que
\int_{-\infty}^{\infty}\rho_0(x)\,dx=1.
Substituindo \rho_0(x):
\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{m\omega x^2}{\hbar}\right)\,dx \stackrel{?}{=}1.
Recorde útil: para a>0,
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
(Isto pode ser mostrado multiplicando a integral por ela mesma, passando a coordenadas polares e usando que a área em coordenadas polares dá \pi/a; é a integral gaussiana padrão.) Aqui a=\dfrac{m\omega}{\hbar}, então
\int_{-\infty}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{m\omega x^2}{\hbar}\right)\,dx=\sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega}}.
Substituindo na integral de normalização:
\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\cdot\sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega}}=1.
Portanto o prefator está correto e \rho_0(x) está normalizada.

Passo 5

Interpretação e forma alternativa (útil na prova): a densidade é uma gaussiana centrada em x=0, com largura característica dada pelo comprimento harmônico
x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}.
Escrever \rho_0(x) em termos de x_0 dá uma forma compacta:
\rho_0(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\,x_0}\exp\!\left(-\frac{x^2}{x_0^2}\right).
Essa forma é útil para interpretar a escala espacial da função de probabilidade: aproximadamente 68\% da probabilidade está numa faixa de ordem \pm x_0 em torno de zero (analogia com desvio padrão de uma gaussiana).

Resposta

\rho_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/2}\exp\!\left(-\frac{m\omega x^2}{\hbar}\right)
ou, equivalentemente,
\rho_0(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\,x_0}\exp\!\left(-\frac{x^2}{x_0^2}\right),\qquad x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}.

Exercícios relacionados