Apenas inverta a ordem de integração da integral:
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
O que isso descreve é uma região
no plano
e a integral de
sobre essa região com ordem de integração
primeiro e
depois.
As informações relevantes fornecidas são:
-
varia de a : . - Para cada
fixo, varia de (curva semicircular à esquerda) até (reta à direita): .
O objetivo é reescrever a integral trocando a ordem de integração, ou seja, obter uma expressão da forma
.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região
. As fronteiras relevantes são:
-
, que é a metade esquerda do círculo unitário (a parte com ), -
, que é uma reta com intercepto em quando e intercepto em quando , - e as retas horizontais
e .
Para encontrar o intervalo total de
atingido por
, avaliaremos os extremos das duas curvas quando
:
- A curva
atinge o mínimo em : . - A reta
atinge o máximo em : .
Portanto, a projeção de
sobre o eixo
é o intervalo
. Assim, ao trocar a ordem, teremos
variando de
a
.
Passo 3
Agora, para um
fixo em
, precisamos determinar os limites de
tais que o ponto
esteja em
. As duas condições que definem
são
com
. Vamos tratar cada desigualdade e combinar.
Primeira desigualdade:
.
Reescrevendo,
Observe dois casos para
:
-
Se
, então . Como sempre, a desigualdade é automática para todo . Ou seja, para essa primeira condição não restringe além de . -
Se
, então e podemos elevar ao quadrado (mantendo equivalência porque os dois lados são não-negativos):
Como
, isso equivale a
Portanto, a primeira condição dá:
Passo 4
Segunda desigualdade:
. Reescrevendo em função de
,
Juntando com
, para qualquer
temos a restrição
.
Agora combinamos as duas condições (a da semicircunferência e a da reta): para cada
o valor de
deve satisfazer ambas, isto é
Pelo Passo 3, para
a restrição da semicircunferência é irrelevante, então para
temos simplesmente
Para
a restrição da semicircunferência é
, e portanto para
temos
Devemos verificar qual das duas curvas
e
é menor em
. Igualando:
Elevando ao quadrado (ambos não-negativos):
No intervalo
a igualdade só ocorre em
. Para um
negativo de teste, por exemplo
, tem-se
e
, logo
. Assim em todo
vale
e portanto a função mínima é
.
Concluímos as faixas de
por
:
- Para
: . - Para
: .
Passo 5
Portanto a integral com a ordem trocada (integrando
primeiro e depois
) fica como soma de duas integrais sobre os dois subintervalos de
: