Apenas inverta a ordem de integração da integral:
\int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} f(x,y)\,dx\,dy.
O que isso descreve é uma região R no plano (x,y) e a integral de f sobre essa região com ordem de integração dx primeiro e dy depois.
As informações relevantes fornecidas são:
  • y varia de 0 a 1: 0\le y\le 1.
  • Para cada y fixo, x varia de -\sqrt{1-y^{2}} (curva semicircular à esquerda) até 1-y (reta à direita): -\sqrt{1-y^{2}}\le x\le 1-y.
O objetivo é reescrever a integral trocando a ordem de integração, ou seja, obter uma expressão da forma \int_{x=\text{?}}^{\text{?}}\int_{y=\text{?}}^{\text{?}} f(x,y)\,dy\,dx.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região R. As fronteiras relevantes são:
  • x = -\sqrt{1-y^{2}}, que é a metade esquerda do círculo unitário x^{2}+y^{2}=1 (a parte com x\le 0),
  • x = 1-y, que é uma reta com intercepto em x=1 quando y=0 e intercepto em x=0 quando y=1,
  • e as retas horizontais y=0 e y=1.
Para encontrar o intervalo total de x atingido por R, avaliaremos os extremos das duas curvas quando y\in[0,1]:
  • A curva x=-\sqrt{1-y^{2}} atinge o mínimo em y=0: x=-1.
  • A reta x=1-y atinge o máximo em y=0: x=1.
Portanto, a projeção de R sobre o eixo x é o intervalo [-1,1]. Assim, ao trocar a ordem, teremos x variando de -1 a 1.

Passo 3

Agora, para um x fixo em [-1,1], precisamos determinar os limites de y tais que o ponto (x,y) esteja em R. As duas condições que definem R são
-\sqrt{1-y^{2}}\le x \le 1-y
com 0\le y\le 1. Vamos tratar cada desigualdade e combinar.
Primeira desigualdade: -\sqrt{1-y^{2}}\le x.
Reescrevendo,
-\sqrt{1-y^{2}}\le x \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{1-y^{2}}\ge -x.
Observe dois casos para x:
  • Se x\ge 0, então -x\le 0. Como \sqrt{1-y^{2}}\ge 0 sempre, a desigualdade é automática para todo y\in[0,1]. Ou seja, para x\ge 0 essa primeira condição não restringe y além de 0\le y\le 1.
  • Se x<0, então -x>0 e podemos elevar ao quadrado (mantendo equivalência porque os dois lados são não-negativos):
1-y^{2}\ge x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}\le 1-x^{2}.
Como y\ge 0, isso equivale a
0\le y\le \sqrt{1-x^{2}}.
Portanto, a primeira condição dá:
\begin{cases} y\in[0,\sqrt{1-x^{2}}], & \text{se } -1\le x<0,\\[4pt] y\in[0,1], & \text{se } 0\le x\le 1. \end{cases}]

Passo 4

Segunda desigualdade: x\le 1-y. Reescrevendo em função de y,
x\le 1-y \quad\Longleftrightarrow\quad y\le 1-x.
Juntando com y\ge 0, para qualquer x temos a restrição 0\le y\le 1-x.
Agora combinamos as duas condições (a da semicircunferência e a da reta): para cada x o valor de y deve satisfazer ambas, isto é
0\le y\le \min\bigl(1-x,\; \text{(limite vindo da semicircunferência)}\bigr).ê
Pelo Passo 3, para x\ge 0 a restrição da semicircunferência é irrelevante, então para x\in[0,1] temos simplesmente
0\le y\le 1-x.
Para x<0 a restrição da semicircunferência é y\le \sqrt{1-x^{2}}, e portanto para x\in[-1,0) temos
0\le y\le \min\bigl(1-x,\; \sqrt{1-x^{2}}\bigr).
Devemos verificar qual das duas curvas y=1-x e y=\sqrt{1-x^{2}} é menor em [-1,0]. Igualando:
1-x=\sqrt{1-x^{2}}.
Elevando ao quadrado (ambos não-negativos):
(1-x)^{2}=1-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 1-2x+x^{2}=1-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}-2x=0
\Longrightarrow\quad 2x(x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=0 \text{ ou } x=1.
No intervalo [-1,0] a igualdade só ocorre em x=0. Para um x negativo de teste, por exemplo x=-\tfrac12, tem-se 1-x=1{,}5 e \sqrt{1-x^{2}}\approx 0{,}866, logo \sqrt{1-x^{2}}<1-x. Assim em todo [-1,0] vale
\sqrt{1-x^{2}}\le 1-x,
e portanto a função mínima é \sqrt{1-x^{2}}.
Concluímos as faixas de y por x:
  • Para x\in[-1,0]: 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}}.
  • Para x\in[0,1]: 0\le y\le 1-x.

Passo 5

Portanto a integral com a ordem trocada (integrando y primeiro e depois x) fica como soma de duas integrais sobre os dois subintervalos de x:
\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{-1}^{0}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y)\,dy\,dx + \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{-1}^{0}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x,y)\,dy\,dx + \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} f(x,y)\,dy\,dx

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