Exercício 1: Considerando os vetores vec{u}=(1,1,0), \vec{v}=(-1,2,1) :
Determine o volume V do paralelepípedo definido pelos vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}=(2,1,3).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional:
\vec{u}=(1,1,0),\qquad \vec{v}=(-1,2,1),\qquad \vec{w}=(2,1,3).
O que o problema pede: determinar o volume V do paralelepípedo definido por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Informações relevantes dadas: as componentes de cada vetor (listadas acima). Não há outras informações nem figuras.

Passo 2

Qual a fórmula que vamos usar e por que? Vou explicar com calma.
  • Intuição geométrica rápida: o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} gera um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{v} e \vec{w} cujo módulo \|\vec{v}\times\vec{w}\| é a área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}.
  • Se projetarmos \vec{u} na direção perpendicular a esse plano (ou seja, fizermos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})), obtemos a “altura” multiplicada pelaquela área — ou seja, o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Daí surge a fórmula prática: o volume V é o valor absoluto do produto escalar triplo,
V=\left|\vec{u}\cdot\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)\right|.
Explicando as notações: em \vec{v}\times\vec{w}, \times é o produto vetorial (gera um vetor em \mathbb{R}^3). Em \vec{u}\cdot(\cdot), \cdot é o produto escalar (gera um número). O valor absoluto |\cdot| garante que o volume seja positivo, independente da orientação.
Forma computacional prática: calcular primeiro \vec{v}\times\vec{w} usando a regra do determinante (ou fórmula componente a componente) e depois fazer o produto escalar com \vec{u}. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular \vec{v}\times\vec{w}. Vou usar a expressão por componentes: se \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3), então
\vec{v}\times\vec{w}=\bigl(v_2w_3-v_3w_2,\; -(v_1w_3-v_3w_1),\; v_1w_2-v_2w_1\bigr).
Aqui \vec{v}=(-1,2,1) e \vec{w}=(2,1,3). Vamos calcular cada componente com cuidado:
  • Componente x:
v_2w_3-v_3w_2 = 2\cdot 3 - 1\cdot 1 = 6 - 1 = 5.
  • Componente y (observe o sinal negativo da fórmula):
-(v_1w_3-v_3w_1) = -\bigl((-1)\cdot 3 - 1\cdot 2\bigr) = -\bigl(-3 - 2\bigr) = -(-5) = 5.
  • Componente z:
v_1w_2-v_2w_1 = (-1)\cdot 1 - 2\cdot 2 = -1 - 4 = -5.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(5,5,-5).
Comentário didático rápido: o vetor (5,5,-5) é perpendicular ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w} e seu comprimento \sqrt{5^2+5^2+(-5)^2}=\sqrt{75} é a área do paralelogramo \{\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}\} com \alpha,\beta\in[0,1].

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{a}=(a_1,a_2,a_3), então \vec{u}\cdot\vec{a}=u_1a_1+u_2a_2+u_3a_3.
Aqui \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}\times\vec{w}=(5,5,-5). Então
\vec{u}\cdot\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)=1\cdot 5 + 1\cdot 5 + 0\cdot(-5)=5+5+0=10.
Como o volume é o valor absoluto desse produto triplo, temos que o volume do paralelepípedo é |10|.

Passo 5

Verificação alternativa (útil em prova): o produto escalar triplo também é o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Montando a matriz com linhas \vec{u},\vec{v},\vec{w},
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e calculando pela primeira linha:
1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) =1(2\cdot 3-1\cdot 1)-1((-1)\cdot 3-1\cdot 2) =1(6-1)-1(-3-2)=5-(-5)=10.
Confirmando o resultado anterior.]

Resposta

10

Exercícios relacionados