Exercício 1: Considerando os vetores vec{u}=(1,1,0), \vec{v}=(-1,2,1) :
Obtenha o vetor projeção de \vec{v} na direção de \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(-1,2,1).
A pergunta é: obter o vetor projeção de \vec{v} na direção de \vec{u}, ou seja, o vetor componente de \vec{v} paralelo a \vec{u}.

Passo 2

O que é a projeção de um vetor sobre outro?
A projeção de \vec{v} sobre \vec{u} é o vetor paralelo a \vec{u} que representa a parte de \vec{v} na direção de \vec{u}. Usamos a fórmula:
\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\left(\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\right)\vec{u}.
Aqui:
  • \vec{v}\cdot\vec{u} é o produto escalar entre \vec{v} e \vec{u}.
  • \vec{u}\cdot\vec{u} é o produto escalar de \vec{u} consigo mesmo (igual ao quadrado da norma de \vec{u}).
  • O escalar \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}} é o coeficiente que multiplica \vec{u} para obter a projeção.

Passo 3

Breve derivação/justificativa (útil para a prova): suponha \mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\lambda\vec{u}. A diferença \vec{v}-\lambda\vec{u} deve ser ortogonal a \vec{u}. Logo:
(\vec{v}-\lambda\vec{u})\cdot\vec{u}=0
\vec{v}\cdot\vec{u}-\lambda(\vec{u}\cdot\vec{u})=0
\lambda=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}.
Isso dá a fórmula usada no passo anterior.

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{u}. Usando coordenadas:
\vec{v}\cdot\vec{u}=(-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 + 1\cdot 0 = -1 + 2 + 0 = 1.

Passo 5

Calcular \vec{u}\cdot\vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{u}=1^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2.

Passo 6

Calcular o coeficiente escalar:
\lambda=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\dfrac{1}{2}.
Multiplicando \lambda por \vec{u} obtemos a projeção:
\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\dfrac{1}{2}(1,1,0)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right).

Passo 7

Checagem rápida (para garantir que está certo): calcular \vec{v}-\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v} e verificar ortogonalidade com \vec{u}.
\vec{v}-\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=(-1,2,1)-\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)=\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},1\right).
Produto escalar com \vec{u}:
\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},1\right)\cdot(1,1,0)=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}+0=0,
portanto a diferença é ortogonal a \vec{u}, confirmação de que a projeção está correta.

Resposta

\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)

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