Exercício 1: Considerando os vetores
:
Obtenha o vetor projeção de
na direção de
.
Obtenha o vetor projeção de
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
.
A pergunta é: obter o vetor projeção de na direção de
, ou seja, o vetor componente de
paralelo a
.
A pergunta é: obter o vetor projeção de
Passo 2
O que é a projeção de um vetor sobre outro?
A projeção de sobre
é o vetor paralelo a
que representa a parte de
na direção de
. Usamos a fórmula:
A projeção de
Aqui:
-
é o produto escalar entre e . -
é o produto escalar de consigo mesmo (igual ao quadrado da norma de ). - O escalar
é o coeficiente que multiplica para obter a projeção.
Passo 3
Breve derivação/justificativa (útil para a prova): suponha
. A diferença
deve ser ortogonal a
. Logo:
Isso dá a fórmula usada no passo anterior.
Passo 4
Calcular o produto escalar
. Usando coordenadas:
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Calcular o coeficiente escalar:
Multiplicando
por
obtemos a projeção:
Passo 7
Checagem rápida (para garantir que está certo): calcular
e verificar ortogonalidade com
.
Produto escalar com
:
portanto a diferença é ortogonal a
, confirmação de que a projeção está correta.