Exercício 1: Considerando os vetores vec{u}=(1,1,0), \vec{v}=(-1,2,1) :
Determine a área A do paralelogramo ger ado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(-1,2,1) e pede para determinar a área A do paralelogramo gerado por esses dois vetores.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{u}=(1,1,0).
  • \vec{v}=(-1,2,1).
  • O objetivo é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma simples): a área do paralelogramo gerado por dois vetores em \mathbb{R}^3 é dada pela norma (módulo) do produto vetorial desses vetores. Em fórmulas:
A=\bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\|.
Motivação geométrica curta: \bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}; isso é exatamente a base vezes altura do paralelogramo, portanto dá a área.
Agora vamos calcular \vec{u}\times\vec{v} e depois sua norma.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usando a regra do determinante (expansão pela primeira linha com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo em componentes:
  • Componente em \mathbf{i}: 1\cdot 1 - 0\cdot 2 = 1.
  • Componente em \mathbf{j}: -(1\cdot 1 - 0\cdot(-1)) = -1. (Lembre que o termo do meio leva sinal negativo.)
  • Componente em \mathbf{k}: 1\cdot 2 - 1\cdot(-1) = 2 + 1 = 3.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = (1, -1, 3).

Passo 4

Agora calculamos a norma de \vec{u}\times\vec{v}. Para um vetor (a,b,c) a norma é \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Aplicando:
\bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}.
Esse valor é a área do paralelogramo, conforme a relação do Passo 2.

Passo 5

Comentário rápido para te animar: se quiser conferir de outra forma, poderia calcular \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| e verificar que \sqrt{11}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta para algum \theta — mas isso é só checagem. O procedimento padrão e direto para prova é exatamente o que fizemos: produto vetorial seguido de norma.

Resposta

\sqrt{11}

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