Exercício 1: Considerando os vetores vec{u}=(1,1,0), \vec{v}=(-1,2,1) :
Determine a área A do paralelogramo ger ado por \vec{u} e \vec{v}.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(-1,2,1) e pede para determinar a área A do paralelogramo gerado por esses dois vetores.
Informações relevantes dadas:
\vec{u}=(1,1,0).
\vec{v}=(-1,2,1).
O objetivo é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma simples): a área do paralelogramo gerado por dois vetores em \mathbb{R}^3 é dada pela norma (módulo) do produto vetorial desses vetores. Em fórmulas:
A=\bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\|.
Motivação geométrica curta: \bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}; isso é exatamente a base vezes altura do paralelogramo, portanto dá a área.
Agora vamos calcular \vec{u}\times\vec{v} e depois sua norma.
Passo 3
Cálculo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usando a regra do determinante (expansão pela primeira linha com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
Esse valor é a área do paralelogramo, conforme a relação do Passo 2.
Passo 5
Comentário rápido para te animar: se quiser conferir de outra forma, poderia calcular \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| e verificar que \sqrt{11}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta para algum \theta — mas isso é só checagem. O procedimento padrão e direto para prova é exatamente o que fizemos: produto vetorial seguido de norma.