Exercício 1.1. Considere o caso do movimento vertical de um corpo pontual de massa m em relação à superfície da Terra. Suponha que as distâncias envolvidas são suficientemente pequenas se comparadas com o raio da Terra (mas não desprezíveis). Incorpore os efeitos do atrito com o ar e deduza a lei de movimento sob condições iniciais gerais: x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=v_{0}.

Passo 1

O enunciado trata do movimento vertical de um corpo de massa m submetido à força da gravidade, cuja intensidade varia com a altitude, e a uma força de atrito com o ar proporcional à velocidade. As distâncias x são pequenas em relação ao raio da Terra R, mas não desprezíveis, de modo que
g(x)=\frac{GM}{(R+x)^{2}} \approx g_{0}\Bigl(1-\frac{2x}{R}\Bigr),
onde g_{0}=GM/R^{2}. Nosso objetivo é formular a equação de movimento e resolver para x(t) com as condições iniciais x(0)=x_{0}, x'(0)=v_{0}.

Passo 2

Escrevendo as duas forças atuantes:
  1. Peso variável
F_{g}=-m\,g(x) \approx -m\,g_{0}\Bigl(1-\frac{2x}{R}\Bigr).
  1. Atrito do ar, modelado como proporcional à velocidade:
F_{\rm atrito}=-c\,x',\quad c>0.
Pela segunda lei de Newton, m\,x''=F_{g}+F_{\rm atrito}.

Passo 3

Substituindo as expressões em m\,x''= -m\,g_{0}(1-2x/R)-c\,x' e dividindo por m, define-se
\alpha=\frac{c}{m},\qquad \omega^{2}=\frac{2\,g_{0}}{R},
ficando a equação
x''+\alpha\,x'+\omega^{2}\,x=-g_{0}.

Passo 4

Para resolver
x''+\alpha\,x'+\omega^{2}\,x=-g_{0},
primeiro achamos a solução geral da homogênea
x_{h}(t)=C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t},
com autovalores
\lambda_{1,2}=\frac{-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-4\,\omega^{2}}}{2}.
Em seguida, buscamos uma particular constante x_{p}=A. Como x_{p}''=0 e x_{p}'=0, basta
\omega^{2}A=-g_{0}\quad\Longrightarrow\quad A=-\frac{g_{0}}{\omega^{2}}=-\frac{g_{0}}{2g_{0}/R}=-\frac{R}{2}.

Passo 5

A solução geral é
x(t)=C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}-\frac{g_{0}}{\omega^{2}}.
Derivando,
x'(t)=C_{1}\,\lambda_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}\,\lambda_{2}e^{\lambda_{2}t}.
Aplicamos as condições iniciais:
\begin{cases} x(0)=C_{1}+C_{2}-\dfrac{g_{0}}{\omega^{2}}=x_{0},\\[6pt] x'(0)=C_{1}\,\lambda_{1}+C_{2}\,\lambda_{2}=v_{0}. \end{cases}
Isso forma um sistema linear em C_{1},C_{2}.]

Passo 6

Resolvendo
\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C_{1}\\[3pt]C_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{0}+\dfrac{g_{0}}{\omega^{2}}\\[6pt] v_{0} \end{pmatrix},
obtemos
C_{1}=\frac{(\,v_{0}-\lambda_{2}\,(x_{0}+g_{0}/\omega^{2})\,)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}, \qquad C_{2}=\frac{(\,\lambda_{1}\,(x_{0}+g_{0}/\omega^{2})-v_{0}\,)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}.]

Resposta

A lei de movimento é
\boxed{ x(t) = C_{1}\,e^{\lambda_{1}t}+C_{2}\,e^{\lambda_{2}t} -\frac{g_{0}}{\omega^{2}}, }
com
\lambda_{1,2}=\frac{-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-4\omega^{2}}}{2}, \quad \alpha=\frac{c}{m}, \quad \omega^{2}=\frac{2g_{0}}{R},
e
C_{1}=\frac{v_{0}-\lambda_{2}\bigl(x_{0}+g_{0}/\omega^{2}\bigr)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}, \quad C_{2}=\frac{\lambda_{1}\bigl(x_{0}+g_{0}/\omega^{2}\bigr)-v_{0}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}.

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