Exercício 1.3. No caso do míssil autopropulsado, analisado neste capítulo, inclua uma força de atrito com a atmosfera (supondo que a densidade do ar é constante). Elabore o novo modelo para distâncias desprezíveis em relação ao raio da Terra e ignore a força de atrito que experimentam os gases resultantes da combustão.

Passo 1

O enunciado pede que partamos do modelo clássico de míssil autopropulsado em que, para pequenas altitudes (gravidade constante g) e descartando o atrito nos gases de exaustão, tínhamos como variáveis a posição x(t), a velocidade v(t)=\dot x(t) e a massa do míssil m(t). O modelo original era
m(t)\,\dot v(t)=T(t)-m(t)\,g,\
\dot m(t)=-\dot m_{\rm exaustão}(t),ã
com T(t) o empuxo produzido pelos gases e \dot m_{\rm exaustão}(t)>0ã a taxa de consumo de massa de combustível.
Para incluir agora o atrito com a atmosfera (densidade do ar constante), vamos precisar da expressão para a força de arrasto aerodinâmico e então reescrever a segunda lei de Newton.

Passo 2

Com densidade do ar \rho constante, coeficiente de arrasto C_d e área de seção transversal A, a força de arrasto (módulo) costuma ser modelada por
D(v)=\tfrac12\,\rho\,C_d\,A\,v^2.
Para levar em conta o sentido, escrevemos a força vetorial de arrasto como
\mathbf{F}_d = -D(v)\,\frac{v}{|v|},
isto é, sempre oposta ao vetor velocidade.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical (eje­tando para cima como positivo), somamos as forças: empuxo T(t) para cima, peso m(t)\,g para baixo e arrasto D(v) também para baixo (supondo v>0). Logo
m(t)\,\dot v(t) = T(t)\;-\;m(t)\,g\;-\;\tfrac12\,\rho\,C_d\,A\,v(t)^2.

Passo 4

A equação da variação de massa do míssil continua igual ao modelo sem atrito: se \dot m_{\rm exaustão}(t)>0ã é a vazão de massa de combustível, então
\dot m(t) = -\,\dot m_{\rm exaustão}(t).ã

Passo 5

Finalmente, o novo modelo completo fica como sistema de EDOs para x(t), v(t) e m(t):
\dot x(t) = v(t),\
m(t)\,\dot v(t) = T(t)\;-\;m(t)\,g\;-\;\tfrac12\,\rho\,C_d\,A\,[v(t)]^2,\
\dot m(t) = -\,\dot m_{\rm exaustão}(t),ã
com condições iniciais típicas \;x(0)=0,\;v(0)=v_0,\;m(0)=m_0.

Resposta

O modelo com arrasto aerodinâmico é
\boxed{ \begin{aligned} \dot x(t) &= v(t),\\\ m(t)\,\dot v(t) &= T(t)\;-\;m(t)\,g\;-\;\tfrac12\,\rho\,C_d\,A\,v(t)^2,\\\ \dot m(t) &= -\,\dot m_{\rm exaustão}(t). \end{aligned} }ã

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