Exercício 1.3. No caso do míssil autopropulsado, analisado neste capítulo, inclua uma força de atrito com a atmosfera (supondo que a densidade do ar é constante). Elabore o novo modelo para distâncias desprezíveis em relação ao raio da Terra e ignore a força de atrito que experimentam os gases resultantes da combustão.
Passo 1
O enunciado pede que partamos do modelo clássico de míssil autopropulsado em que, para pequenas altitudes (gravidade constante
) e descartando o atrito nos gases de exaustão, tínhamos como variáveis a posição
, a velocidade
e a massa do míssil
. O modelo original era
com
o empuxo produzido pelos gases e
a taxa de consumo de massa de combustível.
Para incluir agora o atrito com a atmosfera (densidade do ar constante), vamos precisar da expressão para a força de arrasto aerodinâmico e então reescrever a segunda lei de Newton.
Para incluir agora o atrito com a atmosfera (densidade do ar constante), vamos precisar da expressão para a força de arrasto aerodinâmico e então reescrever a segunda lei de Newton.
Passo 2
Com densidade do ar
constante, coeficiente de arrasto
e área de seção transversal
, a força de arrasto (módulo) costuma ser modelada por
Para levar em conta o sentido, escrevemos a força vetorial de arrasto como
isto é, sempre oposta ao vetor velocidade.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical (ejetando para cima como positivo), somamos as forças: empuxo
para cima, peso
para baixo e arrasto
também para baixo (supondo
). Logo
Passo 4
A equação da variação de massa do míssil continua igual ao modelo sem atrito: se
é a vazão de massa de combustível, então
Passo 5
Finalmente, o novo modelo completo fica como sistema de EDOs para
,
e
:
com condições iniciais típicas
Resposta
O modelo com arrasto aerodinâmico é