Exercício 1.8. O movimento pendular estudado neste capítulo descreve o processo que é registrado por um observador situado, junto com o sistema, em um referencial inercial (não acelerado). Encontre a lei de movimento que um observador, localizado no Polo Norte e animado do movimento de rotação da Terra, registraria, caso o pêndulo oscile sobre sua cabeça (como antes, em um sistema inercial).

Passo 1

O enunciado pede a lei de movimento de um pêndulo de comprimento L numa moldura que gira com a Terra ao redor do seu eixo, visto por um observador no Polo Norte. O conteúdo é dinâmica em referencial não inercial: vamos usar a segunda lei de Newton no referencial girante, incluindo as forças inerciais (Coriolis e centrífuga) e a força restauradora do pêndulo.

Passo 2

Começamos da segunda lei de Newton no referencial girante. Se \mathbf{r} é o vetor de posição do pêndulo no plano horizontal e \mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}} sua velocidade relativa, temos
m\,\mathbf{a}_{\rm inercial} = \sum \mathbf{F}_{\rm reais}
e no referencial girante aparece a aceleração relativa \ddot{\mathbf{r}} ligada à inercial por
\mathbf{a}_{\rm inercial} = \ddot{\mathbf{r}} + 2\,\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r})
onde \boldsymbol{\Omega} é o vetor de rotação da Terra, de módulo \Omega.

Passo 3

As forças reais sobre a massa m são: a tensão, cuja componente horizontal é aproximadamente a força restauradora de MHO para pequenos ângulos, e o peso, cuja componente horizontal \simeq -mg\,\mathbf{r}/L. Assim
\sum \mathbf{F}_{\rm reais} \simeq -m\,\frac{g}{L}\,\mathbf{r}
A força centrífuga -m\,\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}) só altera a posição de equilíbrio vertical e não contribui horizontalmente para pequenas oscilações, então desprezamos sua componente horizontal.

Passo 4

Inserindo em m\,\mathbf{a}_{\rm inercial}=\sum \mathbf{F}_{\rm reais} e dividindo por m, obtemos a equação vetorial no plano horizontal:
\ddot{\mathbf{r}} +2\,\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\mathbf{r}} +\frac{g}{L}\,\mathbf{r} = \mathbf{0}.

Passo 5

Escolhendo um sistema de eixos horizontais (x,y) tal que \boldsymbol{\Omega}=(0,0,\Omega), o produto vetorial dá as componentes acopladas
\begin{cases} \ddot x + \dfrac{g}{L}\,x = 2\,\Omega\,\dot y,\\[1em] \ddot y + \dfrac{g}{L}\,y = -2\,\Omega\,\dot x. \end{cases}]

Passo 6

As equações acima são a lei de movimento do pêndulo vista pelo observador girante no Polo Norte. Elas mostram que, além do termo habitual \ddot x+(g/L)x=0, surge o termo de Coriolis 2\Omega\dot y (e similar em y) que faz o plano de oscilação precessar.

Resposta

\boxed{ \ddot{\mathbf{r}} +2\,\boldsymbol{\Omega}\times\dot{\mathbf{r}} +\frac{g}{L}\,\mathbf{r} = \mathbf{0} }
ou, em componentes horizontais,
\begin{cases} \ddot x + \dfrac{g}{L}\,x = 2\,\Omega\,\dot y,\\[1em] \ddot y + \dfrac{g}{L}\,y = -2\,\Omega\,\dot x. \end{cases}]

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