(Questão 02 ) [ 2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+4 y+6 z-14=0 \quad ( )Esfera
b) -x^{2}-2 y^{2}-3 z^{2}=-8
( )Elipsóide
c) -x^{2}-y+z^{2}=0
( )Parabolóide Hiperbólico
d) 2 x-z^{2}=\sqrt{7} y^{2}
( )Parabolóide Hiperbólico

Passo 1

O enunciado pede para identificar cada superfície quádricas pelas suas equações escritas em coordenadas x,y,z. O conteúdo aqui é reconhecer as formas padrão de: esfera, elipsóide, parabolóide elíptico e parabolóide hiperbólico, usando principalmente completação de quadrados e análise de sinais.

Passo 2

Analisando
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+4y+6z-14=0,
fazemos completação de quadrados:
(x+1)^{2}-1+(y+2)^{2}-4+(z+3)^{2}-9-14=0
\Rightarrow (x+1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+3)^{2}=28,
que é exatamente a equação de uma esfera de raio \sqrt{28}. Logo “Esfera” corresponde à letra a.

Passo 3

Para
-x^{2}-2y^{2}-3z^{2}=-8
multiplicamos por -1 e obtemos
x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=8,
que é a forma padrão de um elipsóide (os coeficientes de x^{2},y^{2},z^{2} são positivos e não iguais). Assim “Elipsóide” corresponde à letra b.

Passo 4

Na equação
-\,x^{2}-y+z^{2}=0
podemos reescrever como
z^{2}-x^{2}=y,
que é a forma típica de um parabolóide hiperbólico. Portanto “Parabolóide Hiperbólico” corresponde à letra c.

Passo 5

Por fim, em
2x - z^{2} = \sqrt{7}\,y^{2}
isolamos x:
x = \frac{1}{2}\bigl(z^{2} + \sqrt{7}\,y^{2}\bigr).
Aqui x é soma de quadrados de y e z multiplicados por constantes positivas, o que define um parabolóide elíptico. Logo “Parabolóide Elíptico” corresponde à letra d.

Resposta

Esfera: a
Elipsóide: b
Parabolóide Hiperbólico: c
Parabolóide Elíptico: d

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