O que se pede: provar que \alpha(t) é uma curva regular.
Lista das informações relevantes que o enunciado dá:
Para t>0 a curva tem coordenadas \big(t,0,e^{-1/t^{2}}\big).
Para t<0 a curva tem coordenadas \big(t,e^{-1/t^{2}},0\big).
Em t=0 a curva vale (0,0,0).
O objetivo (claro): mostrar que a derivada \alpha'(t) existe para todo t e que \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t (essa é a condição de regularidade que vamos usar).]
Passo 2
Calcular \alpha'(t) para t>0.
Para t>0 temos \alpha(t)=\big(t,0,e^{-1/t^{2}}\big). Diferenciando componente a componente (derivada de t é 1; derivada de 0 é 0; derivada de e^{-1/t^{2}} calculamos abaixo):
pois \alpha(0)=(0,0,0). Avaliamos componente a componente.
Primeira componente:
\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.
Segunda componente: para h>0 a segunda componente de \alpha(h) é 0, para h<0 é e^{-1/h^{2}}. Em ambos os lados precisamos do limite de \dfrac{\text{segunda componente}}{h}. Para h>0 esse quociente é 0. Para h<0 o quociente é \dfrac{e^{-1/h^{2}}}{h}. Mostremos que esse último tende a 0. Considere o módulo
Agora use L’Hôpital (ou o fato de que a exponencial domina polinômios): como \lim_{s\to\infty}\dfrac{s}{e^{s^{2}}} é um caso \infty/\infty, aplicando L’Hôpital uma vez obtemos
Portanto \dfrac{e^{-1/h^{2}}}{h}\to0 quando h\to0^{-}. Juntando com o caso h\to0^{+} (onde o quociente vale 0), concluímos que a segunda componente do quociente incremental tende a 0. Logo a segunda componente de \alpha'(0) é 0.
Terceira componente: argumento análogo ao da segunda componente, trocando sinais de lados. Para h<0 a terceira componente de \alpha(h) é 0 e para h>0 é e^{-1/h^{2}}. Repetindo a mesma substituição obtemos que \dfrac{e^{-1/h^{2}}}{h}\to0 quando h\to0^{+}. Assim a terceira componente do quociente incremental também tende a 0.
Portanto
\alpha'(0)=(1,0,0).
Passo 5
Concluir que \alpha'(t) existe para todo t e nunca é o vetor nulo.
Resumindo:
Para t>0: \alpha'(t)=\left(1,0,\dfrac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}}\right) e a primeira componente é 1.
Para t<0: \alpha'(t)=\left(1,\dfrac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}},0\right) e a primeira componente é 1.
Em t=0: \alpha'(0)=(1,0,0).
Em todos os casos \alpha'(t)\neq(0,0,0). Portanto a curva satisfaz a condição de regularidade.
Resposta
\alpha'(t)=\begin{cases}\left(1,\,0,\,\dfrac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}}\right), & t>0,\\[6pt]
\left(1,\,\dfrac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}},\,0\right), & t<0,\\[6pt]
(1,0,0), & t=0,\end{cases} portanto \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t, logo \alpha é regular.]