Exercício 1. Considere a curva
\alpha(t)= \begin{cases}\left(t, 0, e^{-\frac{1}{t^{2}}}\right), & \text { caso } t>0 \\\ \left(t, e^{-\frac{1}{t^{2}}}, 0\right), & \text { caso } t<0 \\\ (0,0,0), & \text { caso } t=0\end{cases}
Prove que \alpha(t) é uma curva regular.

Passo 1

O enunciado dá a curva por partes
\alpha(t)= \begin{cases}\left(t, 0, e^{-\frac{1}{t^{2}}}\right), & \text{se } t>0,\\[4pt] \left(t, e^{-\frac{1}{t^{2}}}, 0\right), & \text{se } t<0,\\[4pt] (0,0,0), & \text{se } t=0.\end{cases}
O que se pede: provar que \alpha(t) é uma curva regular.
Lista das informações relevantes que o enunciado dá:
  1. Para t>0 a curva tem coordenadas \big(t,0,e^{-1/t^{2}}\big).
  2. Para t<0 a curva tem coordenadas \big(t,e^{-1/t^{2}},0\big).
  3. Em t=0 a curva vale (0,0,0).
    O objetivo (claro): mostrar que a derivada \alpha'(t) existe para todo t e que \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t (essa é a condição de regularidade que vamos usar).]

Passo 2

Calcular \alpha'(t) para t>0.
Para t>0 temos \alpha(t)=\big(t,0,e^{-1/t^{2}}\big). Diferenciando componente a componente (derivada de t é 1; derivada de 0 é 0; derivada de e^{-1/t^{2}} calculamos abaixo):
\frac{d}{dt}e^{-1/t^{2}}=e^{-1/t^{2}}\cdot\frac{d}{dt}\big(-t^{-2}\big)=e^{-1/t^{2}}\cdot(2t^{-3})=\frac{2}{t^{3}}\,e^{-1/t^{2}}.
Portanto, para t>0,
\alpha'(t)=\left(1,\,0,\,\frac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}}\right).
Observe que a primeira componente é 1, logo \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t>0.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) para t<0.
Para t<0 temos \alpha(t)=\big(t,e^{-1/t^{2}},0\big). De novo diferenciando componente a componente:
\frac{d}{dt}e^{-1/t^{2}}=\frac{2}{t^{3}}\,e^{-1/t^{2}}
(conforme cálculo do passo anterior). Assim, para t<0,
\alpha'(t)=\left(1,\,\frac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}},\,0\right).
Novamente a primeira componente é 1, logo \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t<0.

Passo 4

Verificar existência e valor de \alpha'(0) usando o quociente incremental.
A derivada em 0 é
\alpha'(0)=\lim_{h\to0}\frac{\alpha(h)-\alpha(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\alpha(h)}{h},
pois \alpha(0)=(0,0,0). Avaliamos componente a componente.
Primeira componente:
\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.
Segunda componente: para h>0 a segunda componente de \alpha(h) é 0, para h<0 é e^{-1/h^{2}}. Em ambos os lados precisamos do limite de \dfrac{\text{segunda componente}}{h}. Para h>0 esse quociente é 0. Para h<0 o quociente é \dfrac{e^{-1/h^{2}}}{h}. Mostremos que esse último tende a 0. Considere o módulo
\left|\frac{e^{-1/h^{2}}}{h}\right|=\frac{e^{-1/h^{2}}}{|h|}.
Faça a troca s=\dfrac{1}{|h|}. Quando h\to0 temos s\to+\infty. Então
\frac{e^{-1/h^{2}}}{|h|}=s\,e^{-s^{2}}=\frac{s}{e^{s^{2}}}.
Agora use L’Hôpital (ou o fato de que a exponencial domina polinômios): como \lim_{s\to\infty}\dfrac{s}{e^{s^{2}}} é um caso \infty/\infty, aplicando L’Hôpital uma vez obtemos
\lim_{s\to\infty}\frac{s}{e^{s^{2}}}=\lim_{s\to\infty}\frac{1}{2s\,e^{s^{2}}}=0.
Portanto \dfrac{e^{-1/h^{2}}}{h}\to0 quando h\to0^{-}. Juntando com o caso h\to0^{+} (onde o quociente vale 0), concluímos que a segunda componente do quociente incremental tende a 0. Logo a segunda componente de \alpha'(0) é 0.
Terceira componente: argumento análogo ao da segunda componente, trocando sinais de lados. Para h<0 a terceira componente de \alpha(h) é 0 e para h>0 é e^{-1/h^{2}}. Repetindo a mesma substituição obtemos que \dfrac{e^{-1/h^{2}}}{h}\to0 quando h\to0^{+}. Assim a terceira componente do quociente incremental também tende a 0.
Portanto
\alpha'(0)=(1,0,0).

Passo 5

Concluir que \alpha'(t) existe para todo t e nunca é o vetor nulo.
Resumindo:
  1. Para t>0: \alpha'(t)=\left(1,0,\dfrac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}}\right) e a primeira componente é 1.
  2. Para t<0: \alpha'(t)=\left(1,\dfrac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}},0\right) e a primeira componente é 1.
  3. Em t=0: \alpha'(0)=(1,0,0).
    Em todos os casos \alpha'(t)\neq(0,0,0). Portanto a curva satisfaz a condição de regularidade.

Resposta

\alpha'(t)=\begin{cases}\left(1,\,0,\,\dfrac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}}\right), & t>0,\\[6pt] \left(1,\,\dfrac{2}{t^{3}}e^{-1/t^{2}},\,0\right), & t<0,\\[6pt] (1,0,0), & t=0,\end{cases} portanto \alpha'(t)\neq(0,0,0) para todo t, logo \alpha é regular.]

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