Exercício 4) Considere a curva \gamma:=S_{1} \cap S_{2}. Pedimos que:
Encontre uma parametrização para a curva \gamma ; c) Determine a equação da reta tangente à curva \gamma no ponto indicado. Nos seguinte casos:
a) S_{1}: z=x^{2}+y^{2} e S_{2}: z=4-2 x-4 y, no ponto (2,-2,8);

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede duas coisas para a curva \gamma := S_1\cap S_2:
  • Superfícies:
S_1:\\ z = x^{2}+y^{2}, \qquad S_2:\\ z = 4 - 2x - 4y.
  • Perguntas:
    1. Encontrar uma parametrização da curva \gamma.
    2. Determinar a equação da reta tangente à curva \gamma no ponto (2,-2,8).
Informações importantes dadas: o ponto indicado é (2,-2,8). A curva \gamma é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações acima.

Passo 2

Encontrar a projeção da curva no plano xy (isto é, eliminar z). Como em \gamma ambos os z são iguais, iguala-se as expressões:
x^{2}+y^{2} = 4 - 2x - 4y.
Reorganizando termos e completando quadrados para identificar a curva no plano xy:
x^{2}+2x + y^{2}+4y -4 = 0.
Agora complete os quadrados em x e y. Para x: x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1. Para y: y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4. Substituindo:
(x+1)^{2}-1 + (y+2)^{2}-4 -4 = 0.
Agrupando constantes:
(x+1)^{2} + (y+2)^{2} -9 = 0.
Portanto
(x+1)^{2} + (y+2)^{2} = 9.
Interpretação: a projeção de \gamma no plano xy é um círculo centrado em (-1,-2) com raio 3. Assim, \gamma é esse círculo no plano xy com z determinado por uma das superfícies.

Passo 3

Parametrização do círculo no plano xy. Use um parâmetro angular t (ângulo padrão). Uma parametrização conveniente é
x(t) = -1 + 3\cos t,\qquad y(t) = -2 + 3\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Agora obtenha z(t). Pode usar a equação da superfície plana S_2 (é mais simples, linear em x,y):
z(t) = 4 - 2x(t) - 4y(t).
Substituindo x(t),y(t):
\begin{aligned} z(t) &= 4 -2(-1+3\cos t) -4(-2+3\sin t)\\[4pt] &= 4 +2 -6\cos t +8 -12\sin t\\[4pt] &= 14 -6\cos t -12\sin t. \end{aligned}
(Observação de verificação: usando S_1, z=x^{2}+y^{2}, obtém-se a mesma expressão depois de expandir, porque as duas superfícies coincidem na interseção.)
Portanto uma parametrização contínua da curva \gamma é
\boxed{\,\mathbf{c}(t)=\bigl(-1+3\cos t,\; -2+3\sin t,\; 14-6\cos t-12\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi).\,}]

Passo 4

Verificar que o ponto indicado corresponde a algum t. Para (x,y)=(2,-2) temos
-1+3\cos t = 2 \implies \cos t = 1, \qquad -2+3\sin t = -2 \implies \sin t = 0,
logo t=0 (módulo 2\pi). Substituindo t=0 em z(t):
z(0)=14 -6\cdot1 -12\cdot0 = 8,
ou seja, \mathbf{c}(0)=(2,-2,8), confirma que o ponto pertence à curva e que o parâmetro t=0 corresponde ao ponto pedido.

Passo 5

Calcular a reta tangente usando a derivada da parametrização (vetor velocidade). Derive componente a componente:
\begin{aligned} x'(t) &= -3\sin t,\\[4pt] y'(t) &= 3\cos t,\\[4pt] z'(t) &= \frac{d}{dt}\bigl(14-6\cos t-12\sin t\bigr) = 6\sin t -12\cos t. \end{aligned}
Assim o vetor tangente geral é
\mathbf{c}'(t)=\bigl(-3\sin t,\; 3\cos t,\; 6\sin t -12\cos t\bigr).
Avalie em t=0 (o parâmetro do ponto dado):
\mathbf{c}'(0) = \bigl(0,\; 3,\; -12\bigr).
Podemos simplificar o vetor de direção dividindo por 3:
\mathbf{v} = \bigl(0,\;1,\;-4\bigr),
que é a direção da reta tangente.
Observação alternativa (checagem / método diferente): a reta tangente também pode ser obtida como interseção dos planos tangentes às duas superfícies em (2,-2,8). Os normais das superfícies são os gradientes das funções F_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z e F_2(x,y,z)=2x+4y+z-4:
\nabla F_1(2,-2,8)=(4,-4,-1),\qquad \nabla F_2=(2,4,1).
O produto vetorial \nabla F_1\times\nabla F_2
(4,-4,-1)\times(2,4,1)=(0,-6,24),
que é paralelo a (0,1,-4). Resultado compatível com \mathbf{v}.]

Passo 6

Equação paramétrica da reta tangente com parâmetro s, usando ponto (2,-2,8) e direção \mathbf{v}=(0,1,-4):
\boxed{\,\mathbf{r}(s) = (2,-2,8) + s\,(0,1,-4),\quad s\in\mathbb{R}.\,}
Em coordenadas:
x(s)=2,\qquad y(s)=-2 + s,\qquad z(s)=8 -4s.

Resposta

\mathbf{c}(t)=\bigl(-1+3\cos t,\; -2+3\sin t,\; 14-6\cos t-12\sin t\bigr),\\ t\in[0,2\pi)\n
\mathbf{r}(s)=(2,-2,8)+s(0,1,-4),\\ s\in\mathbb{R}

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