Exercício 4) Considere a curva
. Pedimos que:
Encontre uma parametrização para a curva
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto indicado. Nos seguinte casos:
a)
e
, no ponto
;
Encontre uma parametrização para a curva
a)
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede duas coisas para a curva
:
- Superfícies:
- Perguntas:
- Encontrar uma parametrização da curva
. - Determinar a equação da reta tangente à curva
no ponto .
- Encontrar uma parametrização da curva
Informações importantes dadas: o ponto indicado é
. A curva
é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações acima.
Passo 2
Encontrar a projeção da curva no plano
(isto é, eliminar
). Como em
ambos os
são iguais, iguala-se as expressões:
Reorganizando termos e completando quadrados para identificar a curva no plano
:
Agora complete os quadrados em
e
. Para
:
. Para
:
. Substituindo:
Agrupando constantes:
Portanto
Interpretação: a projeção de
no plano
é um círculo centrado em
com raio
. Assim,
é esse círculo no plano
com
determinado por uma das superfícies.
Passo 3
Parametrização do círculo no plano
. Use um parâmetro angular
(ângulo padrão). Uma parametrização conveniente é
Agora obtenha
. Pode usar a equação da superfície plana
(é mais simples, linear em
):
Substituindo
:
(Observação de verificação: usando
,
, obtém-se a mesma expressão depois de expandir, porque as duas superfícies coincidem na interseção.)
Portanto uma parametrização contínua da curva
é
Passo 4
Verificar que o ponto indicado corresponde a algum
. Para
temos
logo
(módulo
). Substituindo
em
:
ou seja,
, confirma que o ponto pertence à curva e que o parâmetro
corresponde ao ponto pedido.
Passo 5
Calcular a reta tangente usando a derivada da parametrização (vetor velocidade). Derive componente a componente:
Assim o vetor tangente geral é
Avalie em
(o parâmetro do ponto dado):
Podemos simplificar o vetor de direção dividindo por
:
que é a direção da reta tangente.
Observação alternativa (checagem / método diferente): a reta tangente também pode ser obtida como interseção dos planos tangentes às duas superfícies em
. Os normais das superfícies são os gradientes das funções
e
:
O produto vetorial
dá
que é paralelo a
. Resultado compatível com
.]
Passo 6
Equação paramétrica da reta tangente com parâmetro
, usando ponto
e direção
:
Em coordenadas: