Exercício 1) Desenhe os conjunto abaixo, realçando sua fronteira e diga, justificando, se são abertos, fechados, limitados, compactos. D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x^{2}+y^{2}+z^{2}<4\right\};
Dizer e justificar se o conjunto é aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações dadas que usarei: a definição do conjunto é a desigualdade estrita x^{2}+y^{2}+z^{2}<4. Não há mais dados numéricos.
Passo 2
Interpretação geométrica (desenho mental, o desenho em 3D):
A equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 descreve uma esfera de centro na origem e raio 2.
A desigualdade estrita x^{2}+y^{2}+z^{2}<4 é o interior dessa esfera: todos os pontos cujo distância à origem é menor que 2. Ou seja, D é a bola aberta de raio 2 centrada na origem.
A fronteira (boundary) corresponde à superfície da esfera onde x^{2}+y^{2}+z^{2}=4. Essa esfera superfície NÃO está incluída em D.
Visualmente: imagina uma bola cheia de ar sem a casca rígida (a casca é a fronteira e não faz parte do conjunto). Realce a casca como a fronteira; o interior preenchido representa D, mas a casca não está colorida como interior.
Passo 3
Definições úteis (explicadas com calma):
Um conjunto U\subset\mathbb{R}^3 é aberto se, para todo ponto p\in U, existe \varepsilon>0 tal que a bola aberta centrada em p de raio \varepsilon está totalmente contida em U.
Um conjunto F\subset\mathbb{R}^3 é fechado se ele contém todos os seus pontos-limite (ou equivalentemente se o complementar \mathbb{R}^3\setminus F é aberto).
Um conjunto é limitado se está contido em alguma bola de raio finito, isto é, existe R>0 tal que \|x\|\le R para todo x do conjunto (aqui \|x\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}).
Em \mathbb{R}^n, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado (teorema de Heine–Borel). Outra caracterização útil: compacto significa que toda sequência do conjunto tem uma subsequência convergente cujo limite pertence ao conjunto.
Passo 4
Provar que D é aberto (passo a passo e didático).
Tome um ponto arbitrário p=(p_x,p_y,p_z)\in D. Por definição de D tem-se \|p\|^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2<4.
Defina \delta = 2-\|p\|. Como \|p\|<2, temos \delta>0.
Quero mostrar que a bola aberta de centro p e raio \delta está contida em D. Seja q um ponto qualquer tal que \|q-p\|<\delta. Pela desigualdade triangular,
Assim \|q\|<2, logo q\in D. Como q era arbitrário na bola de raio \delta em torno de p, essa bola está contida em D.
Conclusão: para todo p\in D existe \delta>0 com a propriedade acima; portanto D é aberto.
Comentário intuitivo: todos os pontos estão a uma distância positiva do limite 2, então sempre dá para desenhar uma bolinha pequena em volta de qualquer ponto que fique inteiramente dentro da bola maior.
Passo 5
Caracterizar a fronteira, interior e fecho de D.
Interior de D: por definição de conjunto aberto e porque já mostramos que D é aberto, tem-se \operatorname{int}(D)=D.
Fecho de D (\overline{D}): é o menor conjunto fechado que contém D. Geometricamente, o fecho de uma bola aberta é a bola fechada correspondente. Formalmente, mostrar que
Se \|x\|=2, pode-se construir uma sequência dentro de D que converge a x: por exemplo x_k = \left(1-\tfrac{1}{k}\right)x. Então \|x_k\|=(1-\tfrac{1}{k})\|x\|=(1-\tfrac{1}{k})2<2, logo x_k\in D e x_k\to x. Assim todo ponto de norma 2 é ponto-limite de D e pertence ao fecho. Portanto todo ponto com \|x\|\le2 está em \overline{D}.
Se \|x\|>2, existe uma vizinhança de x que não intersecta D (basta bola de raio \|x\|-2>0), logo x\notin\overline{D}.
Fronteira (boundary) de D: \partial D=\overline{D}\setminus\operatorname{int}(D). Assim
Isto é, a superfície esférica de raio 2 centrada na origem.
Passo 6
Provar que D não é fechado (justificativa detalhada).
Uma maneira direta: um conjunto fechado precisa conter todos os seus pontos-limite. Tomemos um ponto da fronteira, por exemplo b=(2,0,0). Construir sequência em D que converge para b: escolha
b_k=\left(2-\tfrac{1}{k},0,0\right).
Para todo k tem \|b_k\|=2-\tfrac{1}{k}<2, logo b_k\in D. Mas b_k\to b quando k\to\infty, e b\notin D porque \|b\|=2. Assim existe ponto-limite de D que não pertence a D; portanto D não é fechado.
Conclusão: D é aberto e não é fechado.
Passo 7
Provar que D é limitado (e explicar por que é fácil).
Por definição do conjunto, para qualquer (x,y,z)\in D tem-se \| (x,y,z)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<2.
Logo D está contido na bola de raio 2 centrada na origem; portanto D é limitado.
Passo 8
Propriedade de compacidade (uso do teorema de Heine–Borel e argumento sequencial).
Teorema de Heine–Borel em \mathbb{R}^n: um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
Já mostrei que D é limitado mas não é fechado. Portanto, pela caracterização de Heine–Borel, D não é compacto.
Argumento sequencial alternativo (muito didático): a sequência b_k definida no passo anterior está em D e converge para b=(2,0,0)\notin D. Todo subsequência de b_k converge também para b, então não existe subsequência de b_k que converja para um ponto em D. Isso mostra que nem toda sequência em D tem uma subsequência convergente cujo limite pertence a D; portanto D não é sequencialmente compacto, logo não é compacto.
Passo 9
Resumo e interpretação final com um pouco de incentivo:
Geometricamente, D é a “bola aberta” de raio 2 — interior cheio, casca (esfera de raio 2) não incluída.
Fronteira é exatamente a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Propriedades: aberto — sim; fechado — não; limitado — sim; compacto — não.
Vai dar tudo certo na prova: lembra desses argumentos padrão (epsilon para aberto, sequência para não fechado, Heine–Borel para compacto) que são frequentemente pedidos.