Exercício 1) Desenhe os conjunto abaixo, realçando sua fronteira e diga, justificando, se são abertos, fechados, limitados, compactos.
D: x^{2}+y^{2} \leq 4 x, x \geq 2;

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
D:\; x^{2}+y^{2}\leq 4x,\qquad x\geq 2
O que é pedido:
  • Desenhar o conjunto, realçando sua fronteira.
  • Dizer, justificando, se D é aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A desigualdade \,x^{2}+y^{2}\leq 4x\, é uma condição sobre x e y.
  • Há a restrição adicional \,x\geq 2.
  • É necessário identificar a fronteira (conjunto de pontos limítrofes) e classificar D quanto a aberto/fechado/limitado/compacto.

Passo 2

Reescrevendo a desigualdade para ver sua geometria: faça a soma e subtraia 4x,
x^{2}+y^{2}\leq 4x
trazendo todos os termos para o lado esquerdo:
x^{2}-4x+y^{2}\leq 0.
Complete o quadrado em x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Substituindo:
(x-2)^{2}-4+y^{2}\leq 0
ou seja
(x-2)^{2}+y^{2}\leq 4.
Interpretação geométrica desta desigualdade: é o disco fechado de centro (2,0) e raio 2:
\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}\leq 4\}.
Agora considere também a condição linear x\geq 2: isto é o semiplano fechado à direita da reta vertical x=2.
Portanto D é a interseção do disco fechado de centro (2,0) e raio 2 com o semiplano fechado x\geq 2.

Passo 3

Como desenhar D (instrução prática para rabiscar no caderno):
  • Desenhe o círculo de centro (2,0) e raio 2. Esse círculo corta o eixo x nos pontos x=0 e x=4.
  • Trace a reta vertical x=2.
  • Sombreie a parte do disco que está à direita da reta x=2, isto é, o semicírculo que vai de (2,-2) até (2,2) passando pelo arco com centro (2,0) e raio 2.
  • Realce a fronteira: o arco circular (onde (x-2)^{2}+y^{2}=4 com x\geq 2) e o segmento vertical da reta x=2 entre (2,-2) e (2,2). Ambos pertencem a D porque as desigualdades são do tipo “ \leq” e “ \geq”.

Passo 4

Descrever explicitamente o interior de D (para entender abertura):
  • Um ponto interior precisa de uma bola aberta centrada nele totalmente contida em D.
  • Se um ponto satisfaz (x-2)^{2}+y^{2}<4 e x>2 (estritamente maior), então existe um pequeno raio \varepsilon>0 tal que a bola aberta B_\varepsilon((x,y)) fica inteira dentro do disco e dentro do semiplano x>2. Logo tais pontos são pontos interiores.
  • Se um ponto tem x=2 (mesmo que (x-2)^{2}+y^{2}<4), qualquer bola centrada nesse ponto contém pontos com x<2, que não pertencem a D. Logo pontos com x=2 não são pontos interiores de D.
  • Se um ponto satisfaz (x-2)^{2}+y^{2}=4 (está no arco), também não é interior porque qualquer bola ao redor toca pontos fora do disco.
Portanto o interior de D é
\operatorname{int}(D)=\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}<4,\; x>2\}.

Passo 5

Determinar a fronteira \partial D:
  • A fronteira é a diferença entre o fecho e o interior, ou, intuitivamente, os pontos onde toda bola centrada neles contém pontos de D e pontos do complementar.
  • Pelas observações acima, os pontos do arco com (x-2)^{2}+y^{2}=4 e x\geq 2 são fronteira (qualquer bola toca interior do disco e fora do disco).
  • Os pontos do segmento vertical com x=2 e |y|\leq 2 também são fronteira (qualquer bola contém pontos com x<2 fora de D e pontos com x>2 dentro, quando |y|<2; nas extremidades (2,\pm 2) já estão no arco).
    Assim
\partial D=\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}=4,\; x\geq 2\}\;\cup\;\{(x,y)\mid x=2,\;|y|\leq 2\}.
Geometricamente: a fronteira é o arco semicircular à direita mais o segmento de reta vertical que forma o “diâmetro” do semicírculo.

Passo 6

Verificar se D é aberto:
  • Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores.
  • Em D há pontos (por exemplo qualquer ponto com x=2 e |y|<2) que não são interiores.
    Conclusão: D não é aberto.

Passo 7

Verificar se D é fechado:
  • O disco \{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}\leq 4\} é fechado (é o fecho de um disco, equivalently a preimagem de (-\infty,4] por uma função contínua (x,y)\mapsto (x-2)^{2}+y^{2}).
  • O semiplano \{(x,y)\mid x\geq 2\} é fechado (é a preimagem de [2,\infty) pela projeção contínua (x,y)\mapsto x).
  • A interseção de conjuntos fechados é fechada.
    Como D é interseção desses dois conjuntos fechados, D é fechado.
(Alternativa de justificativa: toda sequência em D que converge em \mathbb{R}^{2} tem seu limite em D, por causa das desigualdades fechadas.)

Passo 8

Verificar se D é limitado:
  • Como (x-2)^{2}+y^{2}\leq 4 para todo (x,y)\in D, todos os pontos de D estão dentro do disco de raio 2 centrado em (2,0).
  • Portanto a distância de qualquer ponto de D à origem satisfaz
\|(x,y)\|\leq \|(2,0)\|+2 = 2+2 = 4.
Logo D está contido em uma bola de raio 4 centrada na origem; portanto D é limitado.

Passo 9

Verificar se D é compacto:
  • No espaço \mathbb{R}^{2} (com topologia usual), o Teorema de Heine–Borel diz que um conjunto é compacto se e somente se for fechado e limitado.
  • Já mostramos em Passo 7 que D é fechado e em Passo 8 que D é limitado.
    Logo D é compacto.

Resposta

Descrição geométrica: D é o semicírculo fechado à direita do disco de centro (2,0) e raio 2; geometricamente, é a interseção do disco \{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}\leq 4\} com o semiplano \{(x,y)\mid x\geq 2\}.
Fronteira: \partial D=\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}=4,\;x\geq 2\}\;\cup\;\{(x,y)\mid x=2,\;|y|\leq 2\}.
Aberto? Não.
Fechado? Sim.
Limitado? Sim.
Compacto? Sim.

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