Exercício 1) Desenhe os conjunto abaixo, realçando sua fronteira e diga, justificando, se são abertos, fechados, limitados, compactos.
;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que é pedido:
- Desenhar o conjunto, realçando sua fronteira.
- Dizer, justificando, se
é aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A desigualdade
é uma condição sobre e . - Há a restrição adicional
. - É necessário identificar a fronteira (conjunto de pontos limítrofes) e classificar
quanto a aberto/fechado/limitado/compacto.
Passo 2
Reescrevendo a desigualdade para ver sua geometria: faça a soma e subtraia
,
trazendo todos os termos para o lado esquerdo:
Complete o quadrado em
:
Substituindo:
ou seja
Interpretação geométrica desta desigualdade: é o disco fechado de centro
e raio
:
Agora considere também a condição linear
: isto é o semiplano fechado à direita da reta vertical
.
Portanto
é a interseção do disco fechado de centro
e raio
com o semiplano fechado
.
Passo 3
Como desenhar
(instrução prática para rabiscar no caderno):
- Desenhe o círculo de centro
e raio . Esse círculo corta o eixo nos pontos e . - Trace a reta vertical
. - Sombreie a parte do disco que está à direita da reta
, isto é, o semicírculo que vai de até passando pelo arco com centro e raio . - Realce a fronteira: o arco circular (onde
com ) e o segmento vertical da reta entre e . Ambos pertencem a porque as desigualdades são do tipo “ ” e “ ”.
Passo 4
Descrever explicitamente o interior de
(para entender abertura):
- Um ponto interior precisa de uma bola aberta centrada nele totalmente contida em
. - Se um ponto satisfaz
e (estritamente maior), então existe um pequeno raio tal que a bola aberta fica inteira dentro do disco e dentro do semiplano . Logo tais pontos são pontos interiores. - Se um ponto tem
(mesmo que ), qualquer bola centrada nesse ponto contém pontos com , que não pertencem a . Logo pontos com não são pontos interiores de . - Se um ponto satisfaz
(está no arco), também não é interior porque qualquer bola ao redor toca pontos fora do disco.
Portanto o interior de
é
Passo 5
Determinar a fronteira
:
- A fronteira é a diferença entre o fecho e o interior, ou, intuitivamente, os pontos onde toda bola centrada neles contém pontos de
e pontos do complementar. - Pelas observações acima, os pontos do arco com
e são fronteira (qualquer bola toca interior do disco e fora do disco). - Os pontos do segmento vertical com
e também são fronteira (qualquer bola contém pontos com fora de e pontos com dentro, quando ; nas extremidades já estão no arco).
Assim
Geometricamente: a fronteira é o arco semicircular à direita mais o segmento de reta vertical que forma o “diâmetro” do semicírculo.
Passo 6
Verificar se
é aberto:
- Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores.
- Em
há pontos (por exemplo qualquer ponto com e ) que não são interiores.
Conclusão:não é aberto.
Passo 7
Verificar se
é fechado:
- O disco
é fechado (é o fecho de um disco, equivalently a preimagem de por uma função contínua ). - O semiplano
é fechado (é a preimagem de pela projeção contínua ). - A interseção de conjuntos fechados é fechada.
Comoé interseção desses dois conjuntos fechados, é fechado.
(Alternativa de justificativa: toda sequência em
que converge em
tem seu limite em
, por causa das desigualdades fechadas.)
Passo 8
Verificar se
é limitado:
- Como
para todo , todos os pontos de estão dentro do disco de raio centrado em . - Portanto a distância de qualquer ponto de
à origem satisfaz
Logo
está contido em uma bola de raio
centrada na origem; portanto
é limitado.
Passo 9
Verificar se
é compacto:
- No espaço
(com topologia usual), o Teorema de Heine–Borel diz que um conjunto é compacto se e somente se for fechado e limitado. - Já mostramos em Passo 7 que
é fechado e em Passo 8 que é limitado.
Logoé compacto.
Resposta
Descrição geométrica:
é o semicírculo fechado à direita do disco de centro
e raio
; geometricamente, é a interseção do disco
com o semiplano
.
Fronteira:
Aberto? Não.
Fechado? Sim.
Limitado? Sim.
Compacto? Sim.