Exercício 3. Considere a equação da onda
e utilize a Transformada de Fourier para encontrar a solução geral desta equação. Em seguida, encontre as soluções específicas quando
b.
;
b.
Passo 1
Vou recapitular bem o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder no caminho.
- Equação dada (com
):
- Condições iniciais:
- O pedido:
- Usar Transformada de Fourier (em
) para encontrar a solução geral . - Em seguida, encontrar a solução específica para o caso
e .
- Usar Transformada de Fourier (em
Agora que está claro o que temos e o que precisamos achar, partimos para a resolução.
Passo 2
Definição da Transformada de Fourier que vamos usar e algumas propriedades úteis (explicadas com calma).
- Definição (transformada em
, parâmetro ):
- Fórmula de inversão correspondente:
Explicação rápida: a transformada pega a função no espaço físico
e devolve uma função no espaço de frequências
. A inversão recupera a função original integrando as contribuições de todas as frequências com
.
Propriedade essencial que usaremos (derivada espacial):
- Se
é suficientemente regular, então
Raciocínio: ao integrar por partes a transformada de
, aparecem fatores
duas vezes, ficando
. Isso é a chave: derivar em
vira multiplicar por
(ou por
para segunda derivada) no domínio das frequências.
Passo 3
Aplicar a Transformada de Fourier em
à equação de onda para reduzir a PDE a uma ODE em
.
-
Definimos
-
Transformando a equação
em , usando a propriedade da segunda derivada espacial:
Logo a equação transformada é uma ODE para cada
:
- Essa ODE é a equação harmonicamente osciladora em
. A solução geral (para cada ) é
onde
e
são funções de
determinadas pelas condições iniciais (a constante de frequência
pode ser positiva, negativa ou zero; usamos
que funcionam para todo
).
- Agora transformamos as condições iniciais. Aplicando
em nas condições:
Avaliar a solução em
dá
Derivando em
a solução e avaliando em
:
portanto em
Assim, para
Comentário sobre
: quando
a ODE vira
, então
. A expressão limite da forma
tem limite bem definido quando
, pois
. Portanto não há problema prático: a fórmula geral abaixo cobre também
por continuidade.
- Resumindo:
Passo 4
Voltar ao espaço físico por inversão da transformada: expressão integral geral da solução.
- Aplicando a inversa de Fourier:
Essa é a solução geral expressa como integral de Fourier. Ela está correta, mas costuma ser reescrita numa forma mais palpável (fórmula de d’Alembert) que mostra a dependência nítida de
e
.
-
Para transformar essa expressão na fórmula de d’Alembert usamos duas ideias simples e úteis:
- Propriedade de deslocamento: a transformada de
é . Logo
Assim a primeira parte da integral (a que contém) é exatamente a transformada inversa de . - Transformada da função indicadora do intervalo
: calcular
AssimUsando a propriedade da convolução (e lembrando que com nossa convençãoe a inversa tem fator ), a parte da integral com é a transformada inversa de , isto é (Explicando em palavras: multiplicarpor no espaço das frequências corresponde a convoluir com a janela no espaço físico; essa janela integral dá a média integral de sobre .) - Propriedade de deslocamento: a transformada de
-
Juntando as duas partes obtemos a fórmula clássica de d’Alembert (a maneira mais prática de lembrar a solução da onda em uma dimensão):
Essa é a solução geral com as condições iniciais dadas. Interpretação física: o termo com
são duas ondas viajando nas direções opostas; o termo com
é a contribuição da velocidade inicial integrada ao longo do cone de dependência.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula geral ao caso específico pedido:
e
.
- Colocando
na fórmula de d’Alembert, o primeiro termo some e ficamos apenas com o integral:
- Calcular explicitamente a integral (conta simples):
Portanto
- Simplificar fatorando
:
- Verificação rápida (para ficar mais confiante): compute
e condições iniciais:
Tudo confere.