e utilize a Transformada de Fourier para encontrar a solução geral desta equação. Em seguida, encontre as soluções específicas quando
c. f(x)=e^{-3|x|}, g(x)=e^{-x^{2}}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
\partial_{t}\hat{y}(t,k)\big|_{t=0}= \hat{g}(k)= -A(k)k\sin 0 + B(k)k\cos 0 = k B(k).
Logo (para k\neq 0)
B(k)=\frac{\hat{g}(k)}{k}.
Observação técnica: em k=0 tratamos o limite B(0)=\lim_{k\to 0}\hat{g}(k)/k, que existe se g for suficientemente regular; em prática, para g integrável, o resultado final é bem definido (padrão: assumir f,g tais que tudo seja válido).
Explicação didática curta: a primeira parte transporta os dados iniciais f em duas direções com velocidade 1, a segunda integra a contribuição da velocidade inicial g sobre o cone de dependência [x-t,x+t].
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula de d’Alembert ao caso específico pedido (item c):
Observação: a primeira expressão com a integral é muitas vezes mais útil em provas; a forma com \operatorname{erf} apenas dá uma avaliação explícita em termos de funções especiais.