Exercício 9. Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x)=a x+b, \quad a, b \in \mathbb{R} .
Determine condições sobre a e b para que f seja:
(a) injetora;
(b) sobrejetora;
(c) bijetora.
Prove suas afirmações.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=a x+b, \qquad a,b\in\mathbb{R}.
Pede-se determinar condições sobre a e b para que f seja:
(a) injetora;
(b) sobrejetora;
(c) bijetora.
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio e contradomínio são ambos \mathbb{R}.
  • A forma explícita de f é uma função afim (linear com termo constante).
  • Os parâmetros a e b são números reais e podem ser escolhidos livremente.

Passo 2

Definição de injetividade (lembrando devagarinho): a função f é injectiva se, e somente se,
\text{para todos }x_1,x_2\in\mathbb{R},\quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
Vamos testar isso para f(x)=ax+b.
Suponha primeiro que a\neq 0. Tome x_1,x_2\in\mathbb{R} com f(x_1)=f(x_2). Então
a x_1 + b = a x_2 + b.
Subtraindo b dos dois lados obtemos
a x_1 = a x_2 \quad\Rightarrow\quad a(x_1-x_2)=0.
Como a\neq 0, podemos dividir por a (explicando: não se pode dividir por zero; por isso a distinção dos casos), obtendo
x_1-x_2=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.
Logo, quando a\neq 0 a condição da injetividade é satisfeita — ou seja, f é injetora.

Passo 3

Agora o caso a=0. Se a=0, então f(x)=b para todo x\in\mathbb{R}: é uma função constante. Numa função constante existem x_1\neq x_2 tais que f(x_1)=f(x_2) (na verdade f(x) é igual para todos os x). Portanto a implicação da definição de injetividade falha: não é verdade que f(x_1)=f(x_2) implique x_1=x_2. Logo, se a=0 a função não é injetora.
Conclusão parcial (já provada): f é injetora se, e somente se, a\neq 0. O valor de b não afeta a injetividade (pode ser qualquer real).

Passo 4

Definição de sobrejetividade (passo a passo): f é sobrejetora se, e somente se,
\text{para todo }y\in\mathbb{R}\; \exists x\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ f(x)=y.
Isto é: todo valor y no contradomínio tem pelo menos um antecedente x no domínio.
Vamos resolver a equação f(x)=y em função de x:
a x + b = y.
Reescrevendo,
a x = y-b.

Passo 5

Se a\neq 0, podemos dividir por a e obter explicitamente
x = \dfrac{y-b}{a}.
Para qualquer y\in\mathbb{R} este x está em \mathbb{R}. Portanto para todo y existe um x (na verdade exatamente um) que satisfaz f(x)=y. Logo, se a\neq 0 a função é sobrejetora.

Passo 6

Se a=0, então f(x)=b é constante. Assim a única saída possível é y=b. Para qualquer y\neq b não existe x tal que f(x)=y. Como o contradomínio é \mathbb{R}, a função não atinge todos os valores reais; portanto quando a=0 f não é sobrejetora.
Conclusão parcial (provada): f é sobrejetora se, e somente se, a\neq 0. Novamente, b pode ser qualquer real; só a importa para sobrejetividade.

Passo 7

Bijetividade: por definição, f é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Já provamos que ambas as propriedades ocorrem exatamente quando a\neq 0. Portanto f é bijetora se, e somente se, a\neq 0. Não há restrição adicional sobre b.
Complemento útil (opcional e prático para a prova): quando a\neq 0 a função inversa f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} existe e vem da resolução da equação ax+b=y. Assim
f^{-1}(y)=\dfrac{y-b}{a}.
Verificação rápida: f^{-1}(f(x))=\dfrac{ax+b-b}{a}=x e f(f^{-1}(y))=a\cdot\dfrac{y-b}{a}+b=y. Isso confirma que é de fato a inversa.

Resposta

(a) a\neq 0 (qualquer b\in\mathbb{R}).
(b) a\neq 0 (qualquer b\in\mathbb{R}).
(c) a\neq 0 (qualquer b\in\mathbb{R}).

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