Exercício 9. Considere
definida por
Determine condições sobre a e
para que
seja:
(a) injetora;
(b) sobrejetora;
(c) bijetora.
Prove suas afirmações.
(a) injetora;
(b) sobrejetora;
(c) bijetora.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se determinar condições sobre
e
para que
seja:
(a) injetora;
(b) sobrejetora;
(c) bijetora.
(a) injetora;
(b) sobrejetora;
(c) bijetora.
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio e contradomínio são ambos
. - A forma explícita de
é uma função afim (linear com termo constante). - Os parâmetros
e são números reais e podem ser escolhidos livremente.
Passo 2
Definição de injetividade (lembrando devagarinho): a função
é injectiva se, e somente se,
Vamos testar isso para
.
Suponha primeiro que
. Tome
com
. Então
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Como
, podemos dividir por
(explicando: não se pode dividir por zero; por isso a distinção dos casos), obtendo
Logo, quando
a condição da injetividade é satisfeita — ou seja,
é injetora.
Passo 3
Agora o caso
. Se
, então
para todo
: é uma função constante. Numa função constante existem
tais que
(na verdade
é igual para todos os
). Portanto a implicação da definição de injetividade falha: não é verdade que
implique
. Logo, se
a função não é injetora.
Conclusão parcial (já provada):
é injetora se, e somente se,
. O valor de
não afeta a injetividade (pode ser qualquer real).
Passo 4
Definição de sobrejetividade (passo a passo):
é sobrejetora se, e somente se,
Isto é: todo valor
no contradomínio tem pelo menos um antecedente
no domínio.
Vamos resolver a equação
em função de
:
Reescrevendo,
Passo 5
Se
, podemos dividir por
e obter explicitamente
Para qualquer
este
está em
. Portanto para todo
existe um
(na verdade exatamente um) que satisfaz
. Logo, se
a função é sobrejetora.
Passo 6
Se
, então
é constante. Assim a única saída possível é
. Para qualquer
não existe
tal que
. Como o contradomínio é
, a função não atinge todos os valores reais; portanto quando
não é sobrejetora.
Conclusão parcial (provada):
é sobrejetora se, e somente se,
. Novamente,
pode ser qualquer real; só
importa para sobrejetividade.
Passo 7
Bijetividade: por definição,
é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Já provamos que ambas as propriedades ocorrem exatamente quando
. Portanto
é bijetora se, e somente se,
. Não há restrição adicional sobre
.
Complemento útil (opcional e prático para a prova): quando
a função inversa
existe e vem da resolução da equação
. Assim
Verificação rápida:
e
. Isso confirma que é de fato a inversa.
Resposta
(a)
(qualquer
).
(b) (qualquer
).
(c) (qualquer
).
(b)
(c)