Considere a função
f(x, y)=\frac{4 x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+1}
Determine sa curvas de nível de f para c=2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as curvas de nível de f para c=2. A função dada é
f(x,y)=\frac{4x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+1}.
Informações relevantes:
  • Deve-se resolver a equação f(x,y)=2.
  • Procuramos a curva geométrica (locus) no plano (x,y) que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a equação da curva de nível igualando f a 2:
\frac{4x^{2}+y^{2}-4}{x^{2}+y^{2}+1}=2.
Aqui a ideia é eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por x^{2}+y^{2}+1, que é sempre positivo (logo a operação é válida para todos (x,y)).

Passo 3

Multiplicando e trazendo todos os termos para um lado:
4x^{2}+y^{2}-4 = 2\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr).
Agora desenvolvemos o lado direito:
4x^{2}+y^{2}-4 = 2x^{2}+2y^{2}+2.
Subtraindo 2x^{2}+2y^{2}+2 de ambos os lados obtemos:
4x^{2}-2x^{2}+y^{2}-2y^{2}-4-2=0.
Simplificando os coeficientes:
2x^{2}-y^{2}-6=0.

Passo 4

Reescrevemos a equação obtida de forma mais clara:
2x^{2}-y^{2}=6.
Dividindo ambos os lados por 6 para colocar na forma padrão:
\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1.

Passo 5

Classificação da curva (uma pequena aula): uma curva dada por uma forma quadrática geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0 é
  • elipse se B^{2}-4AC<0,
  • parábola se B^{2}-4AC=0,
  • hipérbole se B^{2}-4AC>0.
    No nosso caso a equação 2x^{2}-y^{2}-6=0 tem A=2, B=0, C=-1. Calculando o discriminante:
B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=8>0,
portanto a curva é uma hipérbole. Outra forma direta de ver isso é que a equação já está na forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
com a^{2}=3 e b^{2}=6.

Passo 6

Propriedades geométricas importantes (como reconhecer na prova):
  • Centro: (0,0) (não há termos lineares em x ou y).
  • Eixo transverso: eixo x (porque o termo positivo é o de x^{2}).
  • Semieixos: a=\sqrt{3} e b=\sqrt{6}.
  • Vértices: (\pm a,0)=(\pm\sqrt{3},0).

Passo 7

Focos e assimptotas (úteis para esboçar):
  • Para hipérbole do tipo \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, os focos estão em (\pm c,0) com c^{2}=a^{2}+b^{2}. Aqui
c^{2}=3+6=9\quad\Rightarrow\quad c=3,
logo os focos são (\pm 3,0).
  • Asíntotas são as retas y=\pm\frac{b}{a}x. Calculando a razão:
\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2},
portanto as assíntotas são y=\pm\sqrt{2}\,x.

Passo 8

Interpretação final e sugestão de esboço: a curva de nível f(x,y)=2 é uma hipérbole centrada na origem, com ramo aberto ao longo do eixo x, vértices em (\pm\sqrt{3},0), focos em (\pm 3,0) e assíntotas y=\pm\sqrt{2}\,x. Para desenhar rapidamente, marque o centro, os vértices e trace as assíntotas; os ramos da hipérbole aproximam-se dessas assíntotas afastando-se dos vértices.

Resposta

\displaystyle 2x^{2}-y^{2}=6

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