Considere a função
Determine sa curvas de nível de
para
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as curvas de nível de
para
. A função dada é
Informações relevantes:
- Deve-se resolver a equação
. - Procuramos a curva geométrica (locus) no plano
que satisfaz essa igualdade.
Passo 2
Escrevemos explicitamente a equação da curva de nível igualando
a
:
Aqui a ideia é eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por
, que é sempre positivo (logo a operação é válida para todos
).
Passo 3
Multiplicando e trazendo todos os termos para um lado:
Agora desenvolvemos o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados obtemos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 4
Reescrevemos a equação obtida de forma mais clara:
Dividindo ambos os lados por
para colocar na forma padrão:
Passo 5
Classificação da curva (uma pequena aula): uma curva dada por uma forma quadrática geral
é
- elipse se
, - parábola se
, - hipérbole se
.
No nosso caso a equaçãotem , , . Calculando o discriminante:
portanto a curva é uma hipérbole. Outra forma direta de ver isso é que a equação já está na forma padrão
com
e
.
Passo 6
Propriedades geométricas importantes (como reconhecer na prova):
- Centro:
(não há termos lineares em ou ). - Eixo transverso: eixo
(porque o termo positivo é o de ). - Semieixos:
e . - Vértices:
.
Passo 7
Focos e assimptotas (úteis para esboçar):
- Para hipérbole do tipo
, os focos estão em com . Aqui
logo os focos são
.
- Asíntotas são as retas
. Calculando a razão:
portanto as assíntotas são
.
Passo 8
Interpretação final e sugestão de esboço: a curva de nível
é uma hipérbole centrada na origem, com ramo aberto ao longo do eixo
, vértices em
, focos em
e assíntotas
. Para desenhar rapidamente, marque o centro, os vértices e trace as assíntotas; os ramos da hipérbole aproximam-se dessas assíntotas afastando-se dos vértices.