Considere a função
f(x, y)=\frac{4 x^{2}-2 y^{2}-5}{x^{2}-y^{2}}
Determine o domínio e as curva de nível de f para c=3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{4x^{2}-2y^{2}-5}{x^{2}-y^{2}}
e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a(s) curva(s) de nível de f para c=3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios em x e y.
  • Há um denominador x^{2}-y^{2} que pode anular-se e provocar problemas (pontos não pertencentes ao domínio).
  • Para curvas de nível com c=3 devemos resolver a equação f(x,y)=3.

Passo 2

Entender o que é domínio aqui. O domínio são todos os pares (x,y) onde a expressão que define f faz sentido (ou seja, onde o denominador não é zero). Portanto exigimos
x^{2}-y^{2}\neq 0.
Essa condição pode ser reescrita fatorando:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\neq 0,
ou seja, não podemos ter x=y nem x=-y. Logo os pontos sobre as retas y=x e y=-x ficam fora do domínio.

Passo 3

Verificar se há cancelamento possível que removesse a singularidade (ou seja, se o numerador e o denominador têm fator comum). Supondo que existisse uma constante k tal que
4x^{2}-2y^{2}-5 = k(x^{2}-y^{2}),
comparando coeficientes teríamos k=4 pela parte em x^{2} e k=2 pela parte em y^{2}, o que é impossível. Portanto não há fator comum polinomial que cancele x^{2}-y^{2}. Conclusão: os pontos com x^{2}=y^{2} realmente são singularidades e não pertencem ao domínio.

Passo 4

Agora vamos às curvas de nível para c=3. Começamos escrevendo a equação de nível:
\frac{4x^{2}-2y^{2}-5}{x^{2}-y^{2}} = 3,
válida apenas onde x^{2}-y^{2}\neq 0. Multiplicamos ambos os lados por x^{2}-y^{2} (lembrando da condição anterior) para eliminar o denominador:
4x^{2}-2y^{2}-5 = 3(x^{2}-y^{2}).

Passo 5

Desenvolvendo o lado direito e agrupando termos semelhantes:
4x^{2}-2y^{2}-5 = 3x^{2}-3y^{2}.
Subtraindo 3x^{2}-3y^{2} de ambos os lados:
(4x^{2}-3x^{2}) + (-2y^{2}+3y^{2}) -5 = 0,
ou seja
x^{2}+y^{2}-5=0.
Portanto a equação reduz-se a
x^{2}+y^{2}=5.

Passo 6

Interpretação geométrica: \,x^{2}+y^{2}=5 é o círculo centrado na origem com raio \sqrt{5}. No entanto devemos lembrar a restrição do domínio: os pontos onde x^{2}-y^{2}=0 (ou seja, x=\pm y) não pertencem ao domínio, então não podem fazer parte da curva de nível.

Passo 7

Determinar exatamente quais pontos do círculo precisam ser excluídos. Resolver o sistema
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=5,\\[4pt] x^{2}=y^{2} \end{cases}
leva a 2x^{2}=5, isto é x^{2}=\dfrac{5}{2}. Assim os pontos com x^{2}=y^{2}=\dfrac{5}{2} são
\left(\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}},\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\right),
com todas as combinações de sinais que satisfazem y=\pm x. São exatamente quatro pontos do círculo que coincidem com as retas y=\pm x; esses quatro pontos devem ser excluídos da curva de nível porque ali o denominador é zero.]

Passo 8

Conclusão prática: a curva de nível f(x,y)=3 é o círculo \,x^{2}+y^{2}=5 menos os quatro pontos em que x=\pm y (isto é, menos os pontos \left(\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}},\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\right)). Lembre-se: ao multiplicar pelo denominador foi necessário garantir x^{2}-y^{2}\neq 0, por isso a exclusão é obrigatória.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\} (equivalente a \mathbb{R}^{2}\setminus\{(x,y):x=\pm y\}).
Curva de nível para c=3: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=5\}\setminus\left\{\left(\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}},\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\right)\right\}.

Exercícios relacionados