Considere a função
Determine o domínio e as curva de nível de
para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a(s) curva(s) de nível de
para .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma razão de polinômios em
e . - Há um denominador
que pode anular-se e provocar problemas (pontos não pertencentes ao domínio). - Para curvas de nível com
devemos resolver a equação .
Passo 2
Entender o que é domínio aqui. O domínio são todos os pares
onde a expressão que define
faz sentido (ou seja, onde o denominador não é zero). Portanto exigimos
Essa condição pode ser reescrita fatorando:
ou seja, não podemos ter
nem
. Logo os pontos sobre as retas
e
ficam fora do domínio.
Passo 3
Verificar se há cancelamento possível que removesse a singularidade (ou seja, se o numerador e o denominador têm fator comum). Supondo que existisse uma constante
tal que
comparando coeficientes teríamos
pela parte em
e
pela parte em
, o que é impossível. Portanto não há fator comum polinomial que cancele
. Conclusão: os pontos com
realmente são singularidades e não pertencem ao domínio.
Passo 4
Agora vamos às curvas de nível para
. Começamos escrevendo a equação de nível:
válida apenas onde
. Multiplicamos ambos os lados por
(lembrando da condição anterior) para eliminar o denominador:
Passo 5
Desenvolvendo o lado direito e agrupando termos semelhantes:
Subtraindo
de ambos os lados:
ou seja
Portanto a equação reduz-se a
Passo 6
Interpretação geométrica:
é o círculo centrado na origem com raio
. No entanto devemos lembrar a restrição do domínio: os pontos onde
(ou seja,
) não pertencem ao domínio, então não podem fazer parte da curva de nível.
Passo 7
Determinar exatamente quais pontos do círculo precisam ser excluídos. Resolver o sistema
leva a
, isto é
. Assim os pontos com
são
com todas as combinações de sinais que satisfazem
. São exatamente quatro pontos do círculo que coincidem com as retas
; esses quatro pontos devem ser excluídos da curva de nível porque ali o denominador é zero.]
Passo 8
Conclusão prática: a curva de nível
é o círculo
menos os quatro pontos em que
(isto é, menos os pontos
). Lembre-se: ao multiplicar pelo denominador foi necessário garantir
, por isso a exclusão é obrigatória.
Resposta
Domínio:
(equivalente a
).
Curva de nível para :
.
Curva de nível para