Exercício 2.2 Um sinal de tensão composto por duas frequências, v_{i}(t)=5 \cos (100 t)+ 5 \cos (10000 t) V, é aplicado à entrada de um filtro passa-baixas R L composto por um resistor R=100 \Omega em paralelo com a saída e um indutor L=10 \mathrm{mH} em série. Calcule a amplitude de cada componente de frequência na saída do filtro.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
  • Sinal de entrada: v_{i}(t)=5\cos(100t)+5\cos(10000t)\\ \mathrm{V}.
  • Resistor: R=100\\ \Omega ligado entre a saída e o terra (ou seja, em paralelo com a saída).
  • Indutor em série: L=10\\ \mathrm{mH}=0{,}01\\ \mathrm{H}.
O que se pede:
  • Calcular a amplitude de cada componente de frequência na saída do filtro, ou seja, obter as amplitudes de saída correspondentes às componentes \cos(100t) e \cos(10000t).
Valores importantes a extrair do enunciado (usados depois):
  • Primeira pulsação: \omega_1=100\\ \mathrm{rad/s}.
  • Segunda pulsação: \omega_2=10000\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Entendendo o circuito e o método de resolução (explicação didática e passo-a-passo).
  • O circuito é uma série de um indutor L entre a fonte e o nó de saída; no nó de saída está o resistor R para o terra. Assim a saída é a tensão sobre R.
  • Para analisar sinais senoidais em circuitos com elementos lineares (R, L, C) usa-se o método fasorial: cada senoide de frequência \omega é representada por um fasor (complexo) de amplitude igual à amplitude da senoide; os elementos passam a ter impedâncias complexas que dependem de \omega.
  • Impedância do indutor: \displaystyle Z_L=j\omega L. Aqui j é a unidade imaginária (satisfaz j^2=-1), \omega é a pulsação em rad/s e L é a indutância em henry. A unidade de Z_L é ohm ( \Omega).
  • Impedância do resistor: \displaystyle Z_R=R (real, sem parte imaginária).
  • A saída está sobre R que está em série com L, portanto é um divisor de tensão: a relação fasorial entre tensão de saída V_{o} e tensão de entrada V_{i} para uma dada \omega é
H(j\omega)=\frac{V_o}{V_i}=\frac{Z_R}{Z_R+Z_L}=\frac{R}{R+j\omega L}.
  • Para obter a amplitude (módulo) da saída para uma dada componente, calcula-se |H(j\omega)| e multiplica-se pela amplitude da componente de entrada. Em palavras: amplitude de saída = (amplitude de entrada) \times (ganho de módulo do filtro nessa \omega).

Passo 3

Derivação explícita do módulo do ganho.
  • A função de transferência complexa já dada é
H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L}.
  • O módulo (valor absoluto) de um número complexo \dfrac{a}{a+jb} com a,b reais é
\left|\frac{a}{a+jb}\right|=\frac{|a|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Aplicando com a=R e b=\omega L obtemos
|H(j\omega)|=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}.
  • Portanto, para cada componente senoidal de amplitude A_{\text{in}} à pulsação \omega, a amplitude de saída será
A_{\text{out}}(\omega)=A_{\text{in}}\cdot |H(j\omega)|=A_{\text{in}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dados numéricos (primeira componente \omega_1=100\\ \mathrm{rad/s}).
  • Calcular \omega_1 L:
\omega_1 L = 100\cdot 0{,}01 = 1\\ \Omega.
  • Calcular o denominador:
R^{2}+(\omega_1 L)^{2}=100^{2}+1^{2}=10000+1=10001.
  • Portanto o módulo do ganho em \omega_1 é
|H(j\omega_1)|=\frac{100}{\sqrt{10001}}.
  • Valor numérico aproximado:
\sqrt{10001}\approx100{,}0049999,\qquad |H(j\omega_1)|\approx0{,}99995000125.
  • A amplitude de entrada dessa componente é A_{\text{in}}=5\\ \mathrm{V}. Então a amplitude de saída é
A_{\text{out}}(\omega_1)=5\cdot0{,}99995000125\approx4{,}99975000625\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Aplicando a fórmula à segunda componente ( \omega_2=10000\\ \mathrm{rad/s}).
  • Calcular \omega_2 L:
\omega_2 L = 10000\cdot 0{,}01 = 100\\ \Omega.
  • Calcular o denominador:
R^{2}+(\omega_2 L)^{2}=100^{2}+100^{2}=10000+10000=20000.
  • O módulo do ganho em \omega_2 é
|H(j\omega_2)|=\frac{100}{\sqrt{20000}}=\frac{100}{100\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0{,}7071067812.
  • A amplitude de saída é
A_{\text{out}}(\omega_2)=5\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\approx5\cdot0{,}7071067812\approx3{,}5355339059\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Interpretação física curta (para fixar a ideia).
  • O circuito é um passa-baixa: baixas pulsacões ( \omega pequenas) têm ganho próximo de 1 e passam quase sem atenuação; altas pulsacões são atenuadas pela reatância do indutor.
  • O ponto em que R= \omega L define a pulsação de corte \omega_c=\dfrac{R}{L}. Aqui \omega_c=\dfrac{100}{0{,}01}=10000\\ \mathrm{rad/s}. Assim a segunda componente está exatamente em \omega_c, o que explica o ganho 1/\sqrt{2} (atenuação de -3\\ \mathrm{dB}).

Resposta

Amplitude da componente \cos(100t): 4{,}99975\\ \mathrm{V}
Amplitude da componente \cos(10000t): 3{,}53553\\ \mathrm{V}

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