Exercício 2.2 Um sinal de tensão composto por duas frequências, v_{i}(t)=5 \cos (100 t)+ 5 \cos (10000 t) V, é aplicado à entrada de um filtro passa-baixas R L composto por um resistor R=100 \Omega em paralelo com a saída e um indutor L=10 \mathrm{mH} em série. Calcule a amplitude de cada componente de frequência na saída do filtro.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
Sinal de entrada: v_{i}(t)=5\cos(100t)+5\cos(10000t)\\ \mathrm{V}.
Resistor: R=100\\ \Omega ligado entre a saída e o terra (ou seja, em paralelo com a saída).
Indutor em série: L=10\\ \mathrm{mH}=0{,}01\\ \mathrm{H}.
O que se pede:
Calcular a amplitude de cada componente de frequência na saída do filtro, ou seja, obter as amplitudes de saída correspondentes às componentes \cos(100t) e \cos(10000t).
Valores importantes a extrair do enunciado (usados depois):
Primeira pulsação: \omega_1=100\\ \mathrm{rad/s}.
Segunda pulsação: \omega_2=10000\\ \mathrm{rad/s}.
Passo 2
Entendendo o circuito e o método de resolução (explicação didática e passo-a-passo).
O circuito é uma série de um indutor L entre a fonte e o nó de saída; no nó de saída está o resistor R para o terra. Assim a saída é a tensão sobre R.
Para analisar sinais senoidais em circuitos com elementos lineares (R, L, C) usa-se o método fasorial: cada senoide de frequência \omega é representada por um fasor (complexo) de amplitude igual à amplitude da senoide; os elementos passam a ter impedâncias complexas que dependem de \omega.
Impedância do indutor: \displaystyle Z_L=j\omega L. Aqui j é a unidade imaginária (satisfaz j^2=-1), \omega é a pulsação em rad/s e L é a indutância em henry. A unidade de Z_L é ohm (\Omega).
Impedância do resistor: \displaystyle Z_R=R (real, sem parte imaginária).
A saída está sobre R que está em série com L, portanto é um divisor de tensão: a relação fasorial entre tensão de saída V_{o} e tensão de entrada V_{i} para uma dada \omega é
Para obter a amplitude (módulo) da saída para uma dada componente, calcula-se |H(j\omega)| e multiplica-se pela amplitude da componente de entrada. Em palavras: amplitude de saída = (amplitude de entrada) \times (ganho de módulo do filtro nessa \omega).
Passo 3
Derivação explícita do módulo do ganho.
A função de transferência complexa já dada é
H(j\omega)=\frac{R}{R+j\omega L}.
O módulo (valor absoluto) de um número complexo \dfrac{a}{a+jb} com a,b reais é
O circuito é um passa-baixa: baixas pulsacões (\omega pequenas) têm ganho próximo de 1 e passam quase sem atenuação; altas pulsacões são atenuadas pela reatância do indutor.
O ponto em que R= \omega L define a pulsação de corte \omega_c=\dfrac{R}{L}. Aqui \omega_c=\dfrac{100}{0{,}01}=10000\\ \mathrm{rad/s}. Assim a segunda componente está exatamente em \omega_c, o que explica o ganho 1/\sqrt{2} (atenuação de -3\\ \mathrm{dB}).
Resposta
Amplitude da componente \cos(100t): 4{,}99975\\ \mathrm{V}
Amplitude da componente \cos(10000t): 3{,}53553\\ \mathrm{V}