Exercício 5. Considere a Função Degrau dada por
u(t-a)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { se } t<a \\\\ 1, & \text { se } t>a \end{array} .\right.
Mostre que
\mathscr{L}[f(t-a) u(t-a)]=e^{-a s} \mathscr{L}[f(t)]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de deslocamento no domínio do tempo (segunda propriedade de deslocamento) da transformada de Laplace, isto é, provar que
\mathscr{L}\bigl[f(t-a)\,u(t-a)\bigr](s) = e^{-a s}\,\mathscr{L}\bigl[f(t)\bigr](s).
Vamos usar a definição da transformada de Laplace e uma mudança de variável para chegar ao resultado.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de g(t) é
\mathscr{L}[g(t)](s)=\int_{0}^{\infty}g(t)\,e^{-s t}\,dt.
Tomando g(t)=f(t-a)\,u(t-a), temos
\mathscr{L}\bigl[f(t-a)\,u(t-a)\bigr](s) =\int_{0}^{\infty}f(t-a)\,u(t-a)\,e^{-s t}\,dt.
Como u(t-a)=0 para t<a e vale 1 para t>a, o integrando só contribui quando t\ge a. Logo
\mathscr{L}\bigl[f(t-a)\,u(t-a)\bigr](s) =\int_{a}^{\infty}f(t-a)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Agora fazemos a mudança de variável
\tau = t - a, \quad t = \tau + a, \quad dt = d\tau.
Quando t=a, \tau=0; e quando t\to\infty, \tau\to\infty. Substituindo na integral:
\int_{a}^{\infty}f(t-a)\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}f(\tau)\,e^{-s(\tau+a)}\,d\tau =\;e^{-s a}\int_{0}^{\infty}f(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau.
Mas \displaystyle\int_{0}^{\infty}f(\tau)\,e^{-s\tau}\,d\tau=\mathscr{L}[f(t)](s). Portanto

Resposta

\mathscr{L}\bigl[f(t-a)\,u(t-a)\bigr](s) = e^{-a s}\,\mathscr{L}\bigl[f(t)\bigr](s).

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