Exercício 5. Considere a Função Degrau dada por
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade de deslocamento no domínio do tempo (segunda propriedade de deslocamento) da transformada de Laplace, isto é, provar que
Vamos usar a definição da transformada de Laplace e uma mudança de variável para chegar ao resultado.
Passo 2
Pela definição, a transformada de Laplace de
é
Tomando
, temos
Como
para
e vale
para
, o integrando só contribui quando
. Logo
Passo 3
Agora fazemos a mudança de variável
Quando
,
; e quando
,
. Substituindo na integral:
Mas
. Portanto