Exercício 9. Considere a função
dada por
. Mostre as seguintes afirmações:
não é derivável em 0 .
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para mostrar que
não é derivável em
.
Informações úteis fornecidas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - A tarefa: provar que a derivada
não existe (isto é, não existe um número real finito que seja a derivada de em ).
Passo 2
Definição de derivada num ponto (passo-a-passo didático).
A derivada de em
, se existir, é o limite seguinte:
A derivada de
Explicando: essa razão
mede a inclinação média da função entre
e
. Para que a derivada exista, esse limite deve existir e ser um número real finito. Se o limite não existe ou é infinito, então
não é derivável em
.
Passo 3
Calcular a diferença quociente para
em
.
Primeiro, . Portanto a diferença quociente fica
Primeiro,
Agora transformar isso em potência para manipular melhor:
Portanto
Passo 4
Estudar o limite
.
Note que . Para
temos
e quando
então
, logo
Note que
Para
escrevemos
. Como
(a potência
torna o resultado positivo), segue também que quando
temos
e portanto
Assim, tanto pela direita quanto pela esquerda o quociente tende a
. Em particular o limite não é um número real finito.
Passo 5
Conclusão formal sobre derivabilidade.
Porque
Porque
o limite não existe como número real finito. Pela definição de derivada, isso significa que
não existe. Em palavras: a inclinação média fica arbitrariamente grande quando se aproxima de
, não há uma inclinação finita bem definida da reta tangente em
(há uma espécie de tangente “vertical”).
Resposta
g não é derivável em
.