Exercício 9. Considere a função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por g(x)=\sqrt[3]{x}. Mostre as seguintes afirmações:
g não é derivável em 0 .

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por g(x)=\sqrt[3]{x} e pede para mostrar que g não é derivável em 0.
Informações úteis fornecidas:
  • A função é g(x)=\sqrt[3]{x}.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • A tarefa: provar que a derivada g'(0) não existe (isto é, não existe um número real finito que seja a derivada de g em 0).

Passo 2

Definição de derivada num ponto (passo-a-passo didático).
A derivada de g em 0, se existir, é o limite seguinte:
g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{g(0+h)-g(0)}{h}.
Explicando: essa razão \dfrac{g(0+h)-g(0)}{h} mede a inclinação média da função entre 0 e 0+h. Para que a derivada exista, esse limite deve existir e ser um número real finito. Se o limite não existe ou é infinito, então g não é derivável em 0.

Passo 3

Calcular a diferença quociente para g em 0.
Primeiro, g(0)=\sqrt[3]{0}=0. Portanto a diferença quociente fica
\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}}{h}.
Agora transformar isso em potência para manipular melhor:
\frac{\sqrt[3]{h}}{h}= \frac{h^{1/3}}{h}=h^{1/3-1}=h^{-2/3}.
Portanto
\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=h^{-2/3}.

Passo 4

Estudar o limite \lim_{h\to0}h^{-2/3}.
Note que h^{-2/3}=\dfrac{1}{h^{2/3}}. Para h>0 temos h^{2/3}>0 e quando h\to0^+ então h^{2/3}\to0^+, logo
\lim_{h\to0^+} h^{-2/3}=+\infty.
Para h<0 escrevemos h=-|h|. Como h^{2/3}=\big(|h|\big)^{2/3}>0 (a potência 2/3 torna o resultado positivo), segue também que quando h\to0^- temos h^{2/3}\to0^+ e portanto
\lim_{h\to0^-} h^{-2/3}=+\infty.
Assim, tanto pela direita quanto pela esquerda o quociente tende a +\infty. Em particular o limite não é um número real finito.

Passo 5

Conclusão formal sobre derivabilidade.
Porque
\lim_{h\to0}\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to0}h^{-2/3}=+\infty,
o limite não existe como número real finito. Pela definição de derivada, isso significa que g'(0) não existe. Em palavras: a inclinação média fica arbitrariamente grande quando se aproxima de 0, não há uma inclinação finita bem definida da reta tangente em 0 (há uma espécie de tangente “vertical”).

Resposta

g não é derivável em 0.

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