Exercício 9. Considere a função
dada por
. Mostre as seguintes afirmações:
é derivável em todos os números reais não nulos e
, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. Pede-se que mostremos duas coisas:
- que
é derivável em todos os números reais não nulos; - que, para todo
, vale a fórmula .
Informações relevantes fornecidas:
- A definição explícita da função:
(que também pode ser escrita como ). - O problema foca apenas em pontos
(não pede derivabilidade em ).
Passo 2
Lembrando a definição de derivada (essa é a ferramenta que vamos usar): para um ponto fixo
, a derivada
é o limite
quando esse limite existe. Aqui
é o incremento de
que tende a zero; para cada valor fixo de
(no nosso caso com
) devemos verificar se o limite acima existe e, em caso afirmativo, calcular seu valor.
Aplicando a definição à nossa função, escrevemos a diferença quociente explícita:
Nosso objetivo é calcular o limite dessa expressão quando
.
Passo 3
Para manipular a expressão acima convenientemente vamos usar a identidade algébrica para diferença de cubos:
Aqui tomamos
Note que então
e
, logo
Assim, isolando
na identidade, obtemos
Substituindo
e
de volta, a diferença quociente fica
Essa manipulação é válida quando o denominador
é diferente de zero; para
temos
, e para
suficientemente pequeno
fica próximo de
, de modo que o denominador permanece não nulo. Portanto a expressão acima está bem definida para
próximo de
.
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Lembrando que a função raiz cúbica é contínua, temos
quando
. Assim
Portanto
Passo 5
Substituindo
na expressão anterior obtemos
Usando a notação de raiz, isso pode ser escrito como
Como durante a dedução assumimos
(para garantir
e o denominador não nulo), concluímos que a derivada existe para todo
e tem a forma acima.
Resposta
g é derivável em todos os
.
para todo
.