Exercício 9. Considere a função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por g(x)=\sqrt[3]{x}. Mostre as seguintes afirmações:
g é derivável em todos os números reais não nulos e g^{\prime}(x)=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}, para todo x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}.

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por g(x)=\sqrt[3]{x}. Pede-se que mostremos duas coisas:
  • que g é derivável em todos os números reais não nulos;
  • que, para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, vale a fórmula \;g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita da função: g(x)=\sqrt[3]{x} (que também pode ser escrita como g(x)=x^{1/3}).
  • O problema foca apenas em pontos x\neq0 (não pede derivabilidade em 0).

Passo 2

Lembrando a definição de derivada (essa é a ferramenta que vamos usar): para um ponto fixo x, a derivada g'(x) é o limite
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
quando esse limite existe. Aqui h é o incremento de x que tende a zero; para cada valor fixo de x (no nosso caso com x\neq0) devemos verificar se o limite acima existe e, em caso afirmativo, calcular seu valor.
Aplicando a definição à nossa função, escrevemos a diferença quociente explícita:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{(x+h)^{1/3}-x^{1/3}}{h}.
Nosso objetivo é calcular o limite dessa expressão quando h\to0.

Passo 3

Para manipular a expressão acima convenientemente vamos usar a identidade algébrica para diferença de cubos:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Aqui tomamos
a=(x+h)^{1/3},\qquad b=x^{1/3}.
Note que então a^3=(x+h) e b^3=x, logo
a^3-b^3=(x+h)-x=h.
Assim, isolando a-b na identidade, obtemos
a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{h}{a^2+ab+b^2}.
Substituindo a e b de volta, a diferença quociente fica
\frac{(x+h)^{1/3}-x^{1/3}}{h}=\frac{a-b}{h}=\frac{1}{a^2+ab+b^2}.
Essa manipulação é válida quando o denominador a^2+ab+b^2 é diferente de zero; para x\neq0 temos b=x^{1/3}\neq0, e para h suficientemente pequeno a fica próximo de b, de modo que o denominador permanece não nulo. Portanto a expressão acima está bem definida para h próximo de 0.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to0. Lembrando que a função raiz cúbica é contínua, temos a=(x+h)^{1/3}\to x^{1/3}=b quando h\to0. Assim
\lim_{h\to0}\bigl(a^2+ab+b^2\bigr)=b^2+b\cdot b+b^2=3b^2.
Portanto
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{1/3}-x^{1/3}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3b^2}.

Passo 5

Substituindo b=x^{1/3} na expressão anterior obtemos
g'(x)=\frac{1}{3\bigl(x^{1/3}\bigr)^2}=\frac{1}{3x^{2/3}}.
Usando a notação de raiz, isso pode ser escrito como
g'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
Como durante a dedução assumimos x\neq0 (para garantir b\neq0 e o denominador não nulo), concluímos que a derivada existe para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e tem a forma acima.

Resposta

g é derivável em todos os x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
g'(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

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