Exercício 4: Considere a função

f(x, y)=x^{2}+y^{2}
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}.
(b) Justifique o uso do Teorema de Weierstrass para garantir a existência de máximo e mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para justificar o uso do Teorema de Weierstrass na função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
no domínio
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.

Passo 2

Vamos mostrar que D é compacto. Primeiro, D é limitado, pois para todo (x,y)\in D vale \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le 3, ou seja, todos os pontos de D estão dentro de um círculo de raio 3. Segundo, D é fechado porque pode ser escrito como
D = \{(x,y)\mid g(x,y)\le 9\},
onde g(x,y)=x^{2}+y^{2} é contínua, e a pré-imagem de um conjunto fechado (-\infty,9] por uma função contínua é fechada. Logo, D é fechado e limitado em \mathbb{R}^{2}, portanto compacto.

Passo 3

A função f(x,y)=x^{2}+y^{2} é polinomial em x e y, logo contínua em todo \mathbb{R}^{2} e, em particular, em D.

Passo 4

O Teorema de Weierstrass garante que toda função contínua em um conjunto compacto atinge valor mínimo e máximo nesse conjunto. Como f é contínua em D e D é compacto, concluímos que existem \min_{D}f e \max_{D}f.

Resposta

D é fechado e limitado (logo compacto) e f é contínua em D; portanto, pelo Teorema de Weierstrass, f atinge seu mínimo e seu máximo em D.

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