Exercício 4: Considere a função
.
(b) Justifique o uso do Teorema de Weierstrass para garantir a existência de máximo e mínimo.
(b) Justifique o uso do Teorema de Weierstrass para garantir a existência de máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para justificar o uso do Teorema de Weierstrass na função
no domínio
Passo 2
Vamos mostrar que
é compacto. Primeiro,
é limitado, pois para todo
vale
ou seja, todos os pontos de
estão dentro de um círculo de raio
. Segundo,
é fechado porque pode ser escrito como
onde
é contínua, e a pré-imagem de um conjunto fechado
por uma função contínua é fechada. Logo,
é fechado e limitado em
, portanto compacto.
Passo 3
A função
é polinomial em
e
, logo contínua em todo
e, em particular, em
.
Passo 4
O Teorema de Weierstrass garante que toda função contínua em um conjunto compacto atinge valor mínimo e máximo nesse conjunto. Como
é contínua em
e
é compacto, concluímos que existem
e
.