Exercício 3:

Para a função

f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2},
(b) Use a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}+x\,y+y^{2}
e pede para usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Vamos primeiro encontrar os pontos críticos e depois analisar a Hessiana.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x+2y.
Para pontos críticos, fazemos
2x+y=0, \quad x+2y=0,
que é um sistema linear. Somando a primeira equação vezes 2 com a segunda vezes -1 elimina y, ou podemos ver diretamente que a única solução é
x=0, \quad y=0.
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana de f:
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[4pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como essa Hessiana é constante, sua forma em (0,0) é
H(0,0) = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Para classificar, usamos os menores principais:
D_{1} = 2, \qquad D_{2} = \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 2\cdot2 - 1\cdot1 = 3.
Como D_{1}>0 e D_{2}>0, a Hessiana é definida positiva, indicando que (0,0) é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um mínimo local.

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