Exercício 6. Considere a função periódica f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(t)= \begin{cases}t, & t \in(0,1) \\\\ 1 / 2, & t=0 \\\ f(t+2), & t \in \mathbb{R}\end{cases}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (sem inferir nenhuma pergunta que não foi escrita):
A função periódica f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é definida por partes como:
f(t)=t para t\in(0,1).
f(0)=\tfrac{1}{2}.
f(t+2)=f(t) para todo t\in\mathbb{R} (ou seja, a função tem período 2).
O enunciado, conforme enviado, NÃO contém nenhuma pergunta explícita (por exemplo: não pede continuidade, série de Fourier, integral num intervalo, valor em pontos específicos, derivada, etc.).
Passo 2
Explico por que, com o enunciado tal como está, não há como “resolver” algo concreto:
Para resolver um exercício é necessário saber qual é a tarefa pedida (por exemplo: mostrar que f é integrável, calcular a série de Fourier, verificar continuidade em certos pontos, calcular \int_0^2 f(t)\,dt, etc.).
O enunciado apenas dá a definição de f e a periodicidade, mas não indica qual das possíveis perguntas relacionadas deve ser respondida. Sem essa informação, não há um objetivo matemático único a cumprir.
Passo 3
O que eu poderia fazer se soubesse qual pergunta é pedida (apenas para você entender o tipo de coisas que costumam ser pedidas sobre essa função):
Se a pergunta fosse "estudar a continuidade de f": eu verificaria continuidade em pontos internos de (0,1), em t=0 e em pontos de fronteira por periodicidade (ex.: t=1, t=-1, etc.), usando a definição de limite e o valor dado em 0.
Se fosse “calcular a série de Fourier (período 2)”: eu explicaria como calcular os coeficientes a_n, b_n usando integrais em um período (por exemplo em (0,2) ou (-1,1)), mostrando passo a passo as integrais de t na parte apropriada e tratando o ponto isolado t=0.
Se fosse "calcular \int_0^2 f(t)\,dt": eu dividiria a integral em partes usando a definição em (0,1) e em [1,2) por periodicidade e computaria explicitamente.
Se fosse “verificar se f é integrável/medível”: eu usaria o fato de que a função é contínua em (0,1) exceto num ponto isolado e periódica, discutindo integrabilidade de Riemann/Lebesgue conforme solicitado.
Passo 4
Conclusão prática e direta sobre o que posso entregar agora:
Não há como dar uma “resolução” final porque não foi dada nenhuma pergunta no enunciado fornecido.
Posso, sem problema, executar qualquer um dos procedimentos listados no passo anterior (continuidade, integral, série de Fourier, etc.), mas preciso saber exatamente qual deles você quer que eu faça.
Resposta
Não é possível resolver: o enunciado define a função f (com período 2) mas não contém nenhuma pergunta específica a ser respondida.