Exercício 6. Considere a função periódica f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(t)= \begin{cases}t, & t \in(0,1) \\\\ 1 / 2, & t=0 \\\ f(t+2), & t \in \mathbb{R}\end{cases}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (sem inferir nenhuma pergunta que não foi escrita):
  • A função periódica f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é definida por partes como:
    • f(t)=t para t\in(0,1).
    • f(0)=\tfrac{1}{2}.
    • f(t+2)=f(t) para todo t\in\mathbb{R} (ou seja, a função tem período 2).
  • O enunciado, conforme enviado, NÃO contém nenhuma pergunta explícita (por exemplo: não pede continuidade, série de Fourier, integral num intervalo, valor em pontos específicos, derivada, etc.).

Passo 2

Explico por que, com o enunciado tal como está, não há como “resolver” algo concreto:
  • Para resolver um exercício é necessário saber qual é a tarefa pedida (por exemplo: mostrar que f é integrável, calcular a série de Fourier, verificar continuidade em certos pontos, calcular \int_0^2 f(t)\,dt, etc.).
  • O enunciado apenas dá a definição de f e a periodicidade, mas não indica qual das possíveis perguntas relacionadas deve ser respondida. Sem essa informação, não há um objetivo matemático único a cumprir.

Passo 3

O que eu poderia fazer se soubesse qual pergunta é pedida (apenas para você entender o tipo de coisas que costumam ser pedidas sobre essa função):
  • Se a pergunta fosse "estudar a continuidade de f": eu verificaria continuidade em pontos internos de (0,1), em t=0 e em pontos de fronteira por periodicidade (ex.: t=1, t=-1, etc.), usando a definição de limite e o valor dado em 0.
  • Se fosse “calcular a série de Fourier (período 2)”: eu explicaria como calcular os coeficientes a_n, b_n usando integrais em um período (por exemplo em (0,2) ou (-1,1)), mostrando passo a passo as integrais de t na parte apropriada e tratando o ponto isolado t=0.
  • Se fosse "calcular \int_0^2 f(t)\,dt": eu dividiria a integral em partes usando a definição em (0,1) e em [1,2) por periodicidade e computaria explicitamente.
  • Se fosse “verificar se f é integrável/medível”: eu usaria o fato de que a função é contínua em (0,1) exceto num ponto isolado e periódica, discutindo integrabilidade de Riemann/Lebesgue conforme solicitado.

Passo 4

Conclusão prática e direta sobre o que posso entregar agora:
  • Não há como dar uma “resolução” final porque não foi dada nenhuma pergunta no enunciado fornecido.
  • Posso, sem problema, executar qualquer um dos procedimentos listados no passo anterior (continuidade, integral, série de Fourier, etc.), mas preciso saber exatamente qual deles você quer que eu faça.

Resposta

Não é possível resolver: o enunciado define a função f (com período 2) mas não contém nenhuma pergunta específica a ser respondida.

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