Exercício 5. Considere uma função
Tome
e
, representando a média móvel de
ao longo de um intervalo de comprimento
. Encontre a transformada de Fourier de
em termos de
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma função
com
, que é a média móvel de
ao longo de um intervalo de comprimento
.
O que o problema pede:
- Encontrar a transformada de Fourier de
expressa em termos de (a transformada de ).]
Passo 2
Escolho a convenção de transformada de Fourier mais usada em muitos cursos (sem fatores
nas definições):
Aqui:
-
é qualquer função integrável, -
é a variável de frequência, -
é a unidade imaginária ( ).
Uma propriedade fundamental (teorema da convolução) diz que, com essa convenção,
Intuição curta: convolução no domínio do tempo vira produto no domínio da frequência. Se você quiser, dá para provar trocando integrais e fazendo uma mudança de variável; aqui vou usar essa propriedade porque é o caminho mais direto.
Passo 3
Para usar o teorema da convolução precisamos do fator
. Calculemos:
Como
apenas para
e é zero fora, temos
Essa integral é elementar. Uma primitiva de
é
(para
), então
Agora uso a identidade
para simplificar:
Portanto
Observação importante (caso precise usar no exercício): o valor no ponto
é obtido pelo limite
, então a expressão é contínua em
.
Passo 4
Aplicando o teorema da convolução (Passo 2) obtemos a transformada de
como o produto das transformadas:
Substituindo
do Passo 3,
Interpretação rápida (útil para a prova): multiplicar por
corresponde a atenuar componentes de alta frequência de
— é um filtro passa-baixas suave (a média móvel suaviza o sinal).