Exercício 7. Considere a função F(\omega)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta\left(\omega-n \omega_{0}\right). Calcule \mathcal{F}^{-1}(F)(t).

Passo 1

O enunciado dá a função
F(\omega)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta\!\left(\omega-n\omega_{0}\right)
e pede para calcular \mathcal{F}^{-1}(F)(t), isto é, a transformada inversa de Fourier de F.
Informações relevantes: a função é uma soma (sobre todos os inteiros) de deltas centradas em \omega=n\omega_{0}.

Passo 2

Primeiro preciso fixar a convenção de transformada de Fourier que vou usar (o enunciado não especificou). Uso a convenção usual em muitos cursos de engenharia/física:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt, \qquad \mathcal{F}^{-1}\{F\}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
Essa convenção coloca o fator 1/(2\pi) na transformada inversa.

Passo 3

Escrevo a transformada inversa aplicando a fórmula acima:
\mathcal{F}^{-1}\{F\}(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Biggl(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta\!\left(\omega-n\omega_{0}\right)\Biggr)e^{i\omega t}\,d\omega.
Posso trocar soma e integral (linearidade) e usar a propriedade de amostragem do delta: para qualquer função testada g(\omega),
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega-a)\,g(\omega)\,d\omega=g(a).
Aplicando isso a cada termo da soma,
\mathcal{F}^{-1}\{F\}(t) =\frac{1}{2\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{i n\omega_{0} t}.

Passo 4

Agora temos uma soma de exponenciais:
\mathcal{F}^{-1}\{F\}(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{i n\omega_{0} t}.
Essa soma é uma distribuição periódica e pode ser expressa como um trem de deltas no tempo usando a fórmula de Poisson (ou o par conhecido entre trem de deltas no tempo e trem de deltas na frequência). Definindo
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}},
existe o par clássico
\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta(t-kT) \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2\pi}{T}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta\!\left(\omega-\frac{2\pi n}{T}\right).
Escolhendo T=2\pi/\omega_{0} obtemos \delta-picos em \omega=n\omega_{0}. Invertendo essa relação (ou usando a identidade de soma de exponenciais como série de deltas) dá
\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{i n\omega_{0} t} = \frac{2\pi}{\omega_{0}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta\!\left(t-\frac{2\pi k}{\omega_{0}}\right).
(Explicação curta: a soma de exponenciais com frequências espaçadas produz, em sentido de distribuições, um trem de impulsos no tempo; essa é a forma distribuicional da fórmula de Poisson.)

Passo 5

Substituindo essa identidade na expressão obtida no Passo 4:
\mathcal{F}^{-1}\{F\}(t) =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{\omega_{0}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta\!\left(t-\frac{2\pi k}{\omega_{0}}\right) =\frac{1}{\omega_{0}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta\!\left(t-\frac{2\pi k}{\omega_{0}}\right).
Portanto a transformada inversa é um trem de deltas no tempo, com período T=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}} e amplitude 1/\omega_{0}.

Resposta

\mathcal{F}^{-1}\!\Biggl\{\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta\!\left(\omega-n\omega_{0}\right)\Biggr\}(t) =\frac{1}{\omega_{0}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta\!\left(t-\frac{2\pi k}{\omega_{0}}\right).

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