Exercício 7. Considere a função
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, isto é, a transformada inversa de Fourier de
.
Informações relevantes: a função é uma soma (sobre todos os inteiros) de deltas centradas em .
Informações relevantes: a função é uma soma (sobre todos os inteiros) de deltas centradas em
Passo 2
Primeiro preciso fixar a convenção de transformada de Fourier que vou usar (o enunciado não especificou). Uso a convenção usual em muitos cursos de engenharia/física:
Essa convenção coloca o fator
na transformada inversa.
Passo 3
Escrevo a transformada inversa aplicando a fórmula acima:
Posso trocar soma e integral (linearidade) e usar a propriedade de amostragem do delta: para qualquer função testada
,
Aplicando isso a cada termo da soma,
Passo 4
Agora temos uma soma de exponenciais:
Essa soma é uma distribuição periódica e pode ser expressa como um trem de deltas no tempo usando a fórmula de Poisson (ou o par conhecido entre trem de deltas no tempo e trem de deltas na frequência). Definindo
existe o par clássico
Escolhendo
obtemos
-picos em
. Invertendo essa relação (ou usando a identidade de soma de exponenciais como série de deltas) dá
(Explicação curta: a soma de exponenciais com frequências espaçadas produz, em sentido de distribuições, um trem de impulsos no tempo; essa é a forma distribuicional da fórmula de Poisson.)
Passo 5
Substituindo essa identidade na expressão obtida no Passo 4:
Portanto a transformada inversa é um trem de deltas no tempo, com período
e amplitude
.