Exercício 2: considere a função seguir :
a) Calcule as derivadas parciais em relação a
e a y no ponto
b) Determine o plano tangente ao gráfico de F no ponto
b) Determine o plano tangente ao gráfico de F no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. As perguntas são:
- (a) Calcular as derivadas parciais de
em relação a e a no ponto . - (b) Determinar o plano tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
. - As coordenadas do ponto:
, . - Para obter o plano tangente será necessário conhecer
, e .
Passo 2
O que são derivadas parciais e como calculá-las (explicação didática).
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede a taxa de variação de quando varia e fica fixo. Formalmente, é o limite
mas na prática usamos regras de diferenciação tratando
como constante.
- A derivada parcial em relação a
, escrita , mede a taxa de variação de quando varia e fica fixo:
Regras úteis que vamos usar:
- Regra do poder (power rule): para uma variável
, . - Derivar termo a termo:
. - Se um termo é produto de uma função de
por uma função de , ao derivar em relação a tratamos a parte em como constante (por exemplo, ).
Passo 3
Cálculo de
passo a passo.
- Partes da função e suas derivadas em relação a
: -
pela regra do poder. -
, porque depende só de (tratamos como constante). -
.
-
- Somando os termos:
- Agora avaliaremos em
. Substituindo e :
Passo 4
Cálculo de
passo a passo.
- Partes da função e suas derivadas em relação a
: -
, porque não depende de . -
pela regra do poder. -
(aqui é constante em relação a ).
-
- Somando os termos:
- Avaliando em
:
Passo 5
Calcular
(necessário para o plano tangente).
- Substituindo na função:
Passo 6
Fórmula do plano tangente e interpretação (aula curta).
- O gráfico de
é a superfície . - O plano tangente à superfície no ponto
com é dado pela aproximação linear (expansão de primeira ordem):
- Intuição: esse plano é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto; as inclinações nas direções
e são dadas por e respectivamente.
Passo 7
Substituindo os valores obtidos na fórmula do plano tangente.
- Usando
, , , e , obtemos
- Podemos expandir e simplificar se desejado:
Passo 8
Dica final para a prova (rápida e motivadora).
- Método prático: derive termo a termo, trate a variável oposta como constante; calcule
e substitua na fórmula do plano tangente. Tu já acertou as partes difíceis — agora é só organizar no caderno. Força aí, já tá bom!
Resposta
(a)
(b)