Exercício 2: considere a função seguir :
F(x, y)=x^{2}+2 y^{3}+x^{3} y^{2} .
a) Calcule as derivadas parciais em relação a x e a y no ponto P(2,1)
b) Determine o plano tangente ao gráfico de F no ponto \mathrm{P}(2,1)

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=x^{2}+2y^{3}+x^{3}y^{2}
e o ponto P(2,1). As perguntas são:
  • (a) Calcular as derivadas parciais de F em relação a x e a y no ponto P(2,1).
  • (b) Determinar o plano tangente ao gráfico de F no ponto P(2,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de F(x,y).
  • As coordenadas do ponto: x_0=2, y_0=1.
  • Para obter o plano tangente será necessário conhecer F(x_0,y_0), F_x(x_0,y_0) e F_y(x_0,y_0).

Passo 2

O que são derivadas parciais e como calculá-las (explicação didática).
  • A derivada parcial de F em relação a x, escrita F_x(x,y), mede a taxa de variação de F quando x varia e y fica fixo. Formalmente, é o limite
F_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h,y)-F(x,y)}{h},
mas na prática usamos regras de diferenciação tratando y como constante.
  • A derivada parcial em relação a y, escrita F_y(x,y), mede a taxa de variação de F quando y varia e x fica fixo:
F_y(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{F(x,y+h)-F(x,y)}{h}.
Regras úteis que vamos usar:
  • Regra do poder (power rule): para uma variável t, \dfrac{d}{dt} t^{n}=n t^{n-1}.
  • Derivar termo a termo: \dfrac{\partial}{\partial x}(u+v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial x}.
  • Se um termo é produto de uma função de x por uma função de y, ao derivar em relação a x tratamos a parte em y como constante (por exemplo, \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3}y^{2})=y^{2}\dfrac{d}{dx}x^{3}).

Passo 3

Cálculo de F_x(x,y) passo a passo.
  • Partes da função e suas derivadas em relação a x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x pela regra do poder.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(2y^{3})=0, porque 2y^{3} depende só de y (tratamos y como constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3}y^{2})=y^{2}\dfrac{d}{dx}(x^{3})=y^{2}\cdot 3x^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Somando os termos:
F_x(x,y)=2x+3x^{2}y^{2}.
  • Agora avaliaremos em P(2,1). Substituindo x=2 e y=1:
F_x(2,1)=2\cdot 2 + 3\cdot 2^{2}\cdot 1^{2}=4 + 3\cdot 4 =4+12=16.

Passo 4

Cálculo de F_y(x,y) passo a passo.
  • Partes da função e suas derivadas em relação a y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0, porque x^{2} não depende de y.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(2y^{3})=2\cdot 3y^{2}=6y^{2} pela regra do poder.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3}y^{2})=x^{3}\dfrac{d}{dy}(y^{2})=x^{3}\cdot 2y=2x^{3}y (aqui x^{3} é constante em relação a y).
  • Somando os termos:
F_y(x,y)=6y^{2}+2x^{3}y.
  • Avaliando em P(2,1):
F_y(2,1)=6\cdot 1^{2}+2\cdot 2^{3}\cdot 1=6 + 2\cdot 8 =6+16=22.

Passo 5

Calcular F(2,1) (necessário para o plano tangente).
  • Substituindo na função:
F(2,1)=2^{2}+2\cdot 1^{3}+2^{3}\cdot 1^{2}=4+2+8=14.

Passo 6

Fórmula do plano tangente e interpretação (aula curta).
  • O gráfico de F é a superfície z=F(x,y).
  • O plano tangente à superfície no ponto (x_0,y_0,z_0) com z_0=F(x_0,y_0) é dado pela aproximação linear (expansão de primeira ordem):
z = F(x_0,y_0) + F_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + F_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
  • Intuição: esse plano é a melhor aproximação linear da superfície perto do ponto; as inclinações nas direções x e y são dadas por F_x e F_y respectivamente.

Passo 7

Substituindo os valores obtidos na fórmula do plano tangente.
  • Usando x_0=2, y_0=1, F(2,1)=14, F_x(2,1)=16 e F_y(2,1)=22, obtemos
z = 14 + 16(x-2) + 22(y-1).
  • Podemos expandir e simplificar se desejado:
z = 14 + 16x -32 +22y -22 =16x +22y -40.

Passo 8

Dica final para a prova (rápida e motivadora).
  • Método prático: derive termo a termo, trate a variável oposta como constante; calcule F(x_0,y_0) e substitua na fórmula do plano tangente. Tu já acertou as partes difíceis — agora é só organizar no caderno. Força aí, já tá bom!

Resposta

(a) F_x(2,1)=16,\quad F_y(2,1)=22
(b) z=14+16(x-2)+22(y-1)=16x+22y-40

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