Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
z=x^{2}-x y+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Localizar os pontos críticos da função \,z=f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}.
  • Classificar esses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela) e dizer se há extremo absoluto no domínio.
Informações dadas:
  • A função é \,f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por \,f(x,y)=x^{2}-x y+y^{2}.
  • O domínio é todo o plano \,\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: definição e cálculo das derivadas parciais.
  • Lembrete rápido: um ponto (x,y) é crítico se as derivadas parciais existirem e a gradiente for nula, isto é,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(0,0).
  • Calcular as derivadas parciais. Para diferenciar em relação a x tratamos y como constante e vice-versa (regra de potência e linearidade).
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-x+2y.
  • Resolver o sistema \,2x-y=0 e -x+2y=0. Da primeira equação temos \,y=2x. Substituindo na segunda:
-x+2(2x)=-x+4x=3x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Então \,y=2x=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas.
  • Lembrete rápido: a Hessiana é a matriz das derivadas segundas
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Para funções duas vezes diferenciáveis, no caso de uma matriz Hessiana constante e simétrica, pode-se usar o critério de Sylvester: se o primeiro menor principal D_{1}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} for positivo e o determinante da Hessiana D_{2}=\det H_f for positivo, então a Hessiana é positiva definida e o ponto crítico é um mínimo local; se D_{1}<0 e D_{2}>0 é máximo local; se D_{2}<0 é ponto de sela.
  • Calcular as derivadas segundas para a nossa função:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-1,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2.
  • A Hessiana é
H_f=\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
  • Calcular os menores principais:
D_{1}=2>0,\qquad D_{2}=\det H_f=2\cdot2-(-1)^{2}=4-1=3>0.
Como D_{1}>0 e D_{2}>0, a Hessiana é positiva definida em todo ponto. Portanto o ponto crítico (0,0) é um mínimo estrito (local).

Passo 4

Demonstrar que é mínimo absoluto (global) e valor mínimo.
  • Explicação conceitual curta: se uma função quadrática definida por uma forma quadrática tem matriz associada positiva definida em todo \mathbb{R}^{2}, então a função é estritamente convexa e qualquer mínimo local é também mínimo global e único.
  • Para ver explicitamente que \,f(x,y)\ge 0 com igualdade só em (0,0), escrevemos f como soma de quadrados (completar quadrados linearmente). Procura-se constantes a,b tais que
f(x,y)=a(x-y)^{2}+b(x+y)^{2}.
Expandindo e igualando coeficientes obtém-se a=\tfrac{3}{4} e b=\tfrac{1}{4}. Logo
f(x,y)=\tfrac{3}{4}(x-y)^{2}+\tfrac{1}{4}(x+y)^{2}.
  • A expressão à direita é uma soma de quadrados multiplicados por constantes positivas, portanto é sempre não negativa. Além disso, para que f(x,y)=0 ambos os quadrados devem ser zero, isto é, x-y=0 e x+y=0 simultaneamente, o que implica x=y=0. Assim (0,0) é o único ponto onde f atinge o valor mínimo 0.
  • Como a função cresce indefinidamente quando \|(x,y)\|\to\infty (é quadrática positiva), não existe máximo absoluto no domínio \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Resumo final e incentivo rápido:
  • Encontramos somente um ponto crítico, (0,0).
  • Usando a Hessiana (positiva definida) e a decomposição em quadrados mostramos que esse ponto é um mínimo estrito e único, com valor mínimo \,f(0,0)=0.
  • Não há máximo absoluto porque a função tende a +\infty quando \|(x,y)\|\to\infty.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um mínimo estrito (e também mínimo absoluto) com valor mínimo 0.
Não existe máximo absoluto.

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