Para funções duas vezes diferenciáveis, no caso de uma matriz Hessiana constante e simétrica, pode-se usar o critério de Sylvester: se o primeiro menor principal D_{1}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} for positivo e o determinante da Hessiana D_{2}=\det H_f for positivo, então a Hessiana é positiva definida e o ponto crítico é um mínimo local; se D_{1}<0 e D_{2}>0 é máximo local; se D_{2}<0 é ponto de sela.
Calcular as derivadas segundas para a nossa função:
Como D_{1}>0 e D_{2}>0, a Hessiana é positiva definida em todo ponto. Portanto o ponto crítico (0,0) é um mínimo estrito (local).
Passo 4
Demonstrar que é mínimo absoluto (global) e valor mínimo.
Explicação conceitual curta: se uma função quadrática definida por uma forma quadrática tem matriz associada positiva definida em todo \mathbb{R}^{2}, então a função é estritamente convexa e qualquer mínimo local é também mínimo global e único.
Para ver explicitamente que \,f(x,y)\ge 0 com igualdade só em (0,0), escrevemos f como soma de quadrados (completar quadrados linearmente). Procura-se constantes a,b tais que
f(x,y)=a(x-y)^{2}+b(x+y)^{2}.
Expandindo e igualando coeficientes obtém-se a=\tfrac{3}{4} e b=\tfrac{1}{4}. Logo
A expressão à direita é uma soma de quadrados multiplicados por constantes positivas, portanto é sempre não negativa. Além disso, para que f(x,y)=0 ambos os quadrados devem ser zero, isto é, x-y=0 e x+y=0 simultaneamente, o que implica x=y=0. Assim (0,0) é o único ponto onde f atinge o valor mínimo 0.
Como a função cresce indefinidamente quando \|(x,y)\|\to\infty (é quadrática positiva), não existe máximo absoluto no domínio \mathbb{R}^{2}.
Passo 5
Resumo final e incentivo rápido:
Encontramos somente um ponto crítico, (0,0).
Usando a Hessiana (positiva definida) e a decomposição em quadrados mostramos que esse ponto é um mínimo estrito e único, com valor mínimo \,f(0,0)=0.
Não há máximo absoluto porque a função tende a +\infty quando \|(x,y)\|\to\infty.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é um mínimo estrito (e também mínimo absoluto) com valor mínimo 0.
Não existe máximo absoluto.