Exercício 4: Considere a função
dada por
Encontre a equação da reta normal à curva de nível que contém o ponto
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- A função por partes
- O ponto
.
O que se pede: - A equação da reta normal à curva de nível que contém o ponto
.]
Passo 2
Primeiro identifico a região em que
está, calculando
no ponto
:
Como
satisfaz
, o ponto
pertence ao segundo ramo da função. O valor de
em
é
Passo 3
A curva de nível que contém
é o conjunto
. No ramo relevante temos
ou seja a curva de nível é o círculo
(Observação: o outro ramo
implicaria
, fora do domínio
, então não interessa aqui.)
Passo 4
Conceito importante (passo-a-passo didático): a reta normal a uma curva de nível em um ponto é a reta cuja direção é ortogonal à tangente da curva naquele ponto. Uma maneira prática de obter essa direção é usar o gradiente de uma função cuja nível é a curva: o gradiente aponta na direção normal à curva de nível.
Aqui a curva de nível pode ser vista como nível da função
pois
descreve exatamente o círculo encontrado. O gradiente de
é
No ponto
isso vale
Esse vetor é normal à curva no ponto
. Podemos simplificá-lo dividindo por
para obter um vetor direção mais simples:
Passo 5
Agora construo a equação da reta que passa por
e tem direção
.
Usando a forma ponto-declive, a inclinação é
Usando a forma ponto-declive, a inclinação
A equação ponto-declive é
Vou simplificar essa expressão: multiplico ambos os lados por
:
Desenvolvendo:
Somando
e
a ambos os lados:
Essa é a forma linear mais simples da reta normal.