Exercício 4: Considere a função f: D \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \text { se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25 \\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, \text { se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 36\end{array}\right.
Encontre a equação da reta normal à curva de nível que contém o ponto P=(-3 \sqrt{3}, 3).

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função por partes
f(x,y)=\begin{cases} 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & \text{se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25,\\[4pt] \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, & \text{se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2}\leqslant36, \end{cases}
  • O ponto P=\bigl(-3\sqrt{3},\,3\bigr).
    O que se pede:
  • A equação da reta normal à curva de nível que contém o ponto P.]

Passo 2

Primeiro identifico a região em que P está, calculando x^{2}+y^{2} no ponto P:
(-3\sqrt{3})^{2}+3^{2}=27+9=36.
Como 36 satisfaz 25\leqslant x^{2}+y^{2}\leqslant36, o ponto P pertence ao segundo ramo da função. O valor de f em P é
f(P)=\sqrt{36-36}=0.

Passo 3

A curva de nível que contém P é o conjunto \{(x,y):f(x,y)=0\}. No ramo relevante temos
\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad 36-x^{2}-y^{2}=0,
ou seja a curva de nível é o círculo
x^{2}+y^{2}=36.
(Observação: o outro ramo 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0 implicaria x^{2}+y^{2}=64, fora do domínio x^{2}+y^{2}<25, então não interessa aqui.)

Passo 4

Conceito importante (passo-a-passo didático): a reta normal a uma curva de nível em um ponto é a reta cuja direção é ortogonal à tangente da curva naquele ponto. Uma maneira prática de obter essa direção é usar o gradiente de uma função cuja nível é a curva: o gradiente aponta na direção normal à curva de nível.
Aqui a curva de nível pode ser vista como nível da função
g(x,y)=x^{2}+y^{2},
pois g(x,y)=36 descreve exatamente o círculo encontrado. O gradiente de g é
\nabla g(x,y)=\bigl(2x,\,2y\bigr).
No ponto P isso vale
\nabla g(P)=\bigl(2(-3\sqrt{3}),\,2\cdot 3\bigr)=\bigl(-6\sqrt{3},\,6\bigr).
Esse vetor é normal à curva no ponto P. Podemos simplificá-lo dividindo por 6 para obter um vetor direção mais simples:
\vec{n}=(-\sqrt{3},\,1).

Passo 5

Agora construo a equação da reta que passa por P e tem direção \vec{n}=(-\sqrt{3},1).
Usando a forma ponto-declive, a inclinação m é
m=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
A equação ponto-declive é
y-3=-\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(x+3\sqrt{3}\bigr).
Vou simplificar essa expressão: multiplico ambos os lados por \sqrt{3}:
\sqrt{3}(y-3)=-(x+3\sqrt{3}).
Desenvolvendo:
\sqrt{3}y-3\sqrt{3}=-x-3\sqrt{3}.
Somando x e 3\sqrt{3} a ambos os lados:
x+\sqrt{3}y=0.
Essa é a forma linear mais simples da reta normal.

Resposta

x+\sqrt{3}\,y=0

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