Calcule o raio da base de um cone circular reto, circunscrito a uma esfera de raio unitário, sabendo que o diâmetro da esfera é igual ao segmento maior da seção áurea da altura daquele cone.

Passo 1

Entender o enunciado e listar os dados (vou pegar cada informação explícita do problema).
  • Há uma esfera de raio 1. Portanto o diâmetro da esfera é 2.
  • A esfera está inscrita num cone circular reto (o cone é circunscrito à esfera).
  • O enunciado diz: “o diâmetro da esfera é igual ao segmento maior da seção áurea da altura daquele cone”. Isso significa que a altura do cone, que chamarei de h, é dividida na razão áurea em duas partes: a parte maior L e a parte menor S, com L/S=\varphi, onde
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
é a razão áurea. O enunciado afirma que L (o segmento maior) é igual ao diâmetro da esfera, isto é,
L=2.
  • Pergunta que o problema pede: calcular o raio da base do cone (vou chamar esse raio de r).

Passo 2

Relação entre h e o segmento maior da divisão áurea (pequena aula sobre seção áurea).
  • Se um segmento de comprimento h é dividido em L (maior) e S (menor) com L/S=\varphi e L+S=h, então podemos expressar L em função de h. Da relação L=\varphi S e h=L+S=\varphi S+S=S(\varphi+1) segue
S=\frac{h}{\varphi+1}.
Como \varphi+1=\varphi^{2} (propriedade da razão áurea), obtemos
L=\varphi S=\varphi\cdot\frac{h}{\varphi+1}=\frac{h}{\varphi}.
  • O enunciado dá L=2. Portanto
\frac{h}{\varphi}=2 \quad\Rightarrow\quad h=2\varphi.
(Resumo: a altura do cone vale h=2\varphi.)

Passo 3

Descrição geométrica e posições (definir variáveis úteis).
  • Coloco o vértice (ápice) do cone no topo e a base num plano horizontal abaixo; a altura do cone mede h entre ápice e centro da base.
  • Chamo r o raio da base do cone.
  • A esfera inscrita tem raio 1. Como a esfera é tangente à base, a distância do centro da esfera ao plano da base é 1. Se o centro da esfera está sobre o eixo do cone a uma distância c do vértice, então
h-c=1 \quad\Rightarrow\quad c=h-1.
(Explicação: o centro da esfera está a 1 unidade acima da base, logo a distância do vértice até o centro é h-1.)

Passo 4

Condição de tangência entre a esfera e a geratriz do cone (pequena aula sobre distância ponto‑reta).
  • Corte o cone por um plano que contenha o eixo; isso dá um triângulo isósceles com vértice em (0,0) (ápice), base em (\pm r,h) e o centro da circunferência (seção da esfera) em (0,c).
  • A reta que representa uma geratriz passa por (0,0) e por (r,h). A equação dessa reta, em forma linear, pode ser escrita como
h x - r y = 0.
  • A distância de um ponto (x_0,y_0) até a reta A x + B y + C = 0 é
\frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
Aplicando ao ponto centro (0,c) e à reta h x - r y = 0 (que é A=h, B=-r, C=0), a distância é
\frac{|h\cdot 0 - r\cdot c + 0|}{\sqrt{h^2 + (-r)^2}}=\frac{r c}{\sqrt{h^2+r^2}}.
  • Essa distância deve ser igual ao raio da esfera, que é 1. Logo obtemos a condição de tangência
\frac{r c}{\sqrt{h^2+r^2}}=1.

Passo 5

Resolver a equação da tangência para r (álgebra passo a passo).
  • Partindo de
\frac{r c}{\sqrt{h^2+r^2}}=1,
elevo ao quadrado para eliminar a raiz:
r^2 c^2 = h^2 + r^2.
  • Reagrupando os termos com r^2:
r^2(c^2 - 1)=h^2.
  • Lembre que c=h-1. Então
c^2-1=(h-1)^2-1=h^2-2h.
  • Substituindo em r^2(c^2-1)=h^2 obtemos
r^2(h^2-2h)=h^2 \quad\Rightarrow\quad r^2=\frac{h^2}{h^2-2h}.
  • Simplificando h^2/(h^2-2h)=h/(h-2) (fatorando h em numerador e denominador):
r^2=\frac{h}{h-2}.

Passo 6

Substituir h=2\varphi e simplificar (usar propriedades da razão áurea).
  • Substituindo h=2\varphi em r^2=\dfrac{h}{h-2}:
r^2=\frac{2\varphi}{2\varphi-2}=\frac{2\varphi}{2(\varphi-1)}=\frac{\varphi}{\varphi-1}.
  • Usar a identidade da razão áurea \varphi-1=\dfrac{1}{\varphi}. Portanto
\frac{\varphi}{\varphi-1}=\frac{\varphi}{1/\varphi}=\varphi^2.
  • Assim r^2=\varphi^2, e como r>0 segue
r=\varphi.
  • Recordando a expressão de \varphi,
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}6180339887\ldots

Resposta

\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

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