Calcule o raio da base de um cone circular reto, circunscrito a uma esfera de raio unitário, sabendo que o diâmetro da esfera é igual ao segmento maior da seção áurea da altura daquele cone.
Passo 1
Entender o enunciado e listar os dados (vou pegar cada informação explícita do problema).
- Há uma esfera de raio
. Portanto o diâmetro da esfera é . - A esfera está inscrita num cone circular reto (o cone é circunscrito à esfera).
- O enunciado diz: “o diâmetro da esfera é igual ao segmento maior da seção áurea da altura daquele cone”. Isso significa que a altura do cone, que chamarei de
, é dividida na razão áurea em duas partes: a parte maior e a parte menor , com , onde
é a razão áurea. O enunciado afirma que
(o segmento maior) é igual ao diâmetro da esfera, isto é,
- Pergunta que o problema pede: calcular o raio da base do cone (vou chamar esse raio de
).
Passo 2
Relação entre
e o segmento maior da divisão áurea (pequena aula sobre seção áurea).
- Se um segmento de comprimento
é dividido em (maior) e (menor) com e , então podemos expressar em função de . Da relação e segue
Como
(propriedade da razão áurea), obtemos
- O enunciado dá
. Portanto
(Resumo: a altura do cone vale
.)
Passo 3
Descrição geométrica e posições (definir variáveis úteis).
- Coloco o vértice (ápice) do cone no topo e a base num plano horizontal abaixo; a altura do cone mede
entre ápice e centro da base. - Chamo
o raio da base do cone. - A esfera inscrita tem raio
. Como a esfera é tangente à base, a distância do centro da esfera ao plano da base é . Se o centro da esfera está sobre o eixo do cone a uma distância do vértice, então
(Explicação: o centro da esfera está a
unidade acima da base, logo a distância do vértice até o centro é
.)
Passo 4
Condição de tangência entre a esfera e a geratriz do cone (pequena aula sobre distância ponto‑reta).
- Corte o cone por um plano que contenha o eixo; isso dá um triângulo isósceles com vértice em
(ápice), base em e o centro da circunferência (seção da esfera) em . - A reta que representa uma geratriz passa por
e por . A equação dessa reta, em forma linear, pode ser escrita como
- A distância de um ponto
até a reta é
Aplicando ao ponto centro
e à reta
(que é
), a distância é
- Essa distância deve ser igual ao raio da esfera, que é
. Logo obtemos a condição de tangência
Passo 5
Resolver a equação da tangência para
(álgebra passo a passo).
- Partindo de
elevo ao quadrado para eliminar a raiz:
- Reagrupando os termos com
:
- Lembre que
. Então
- Substituindo em
obtemos
- Simplificando
(fatorando em numerador e denominador):
Passo 6
Substituir
e simplificar (usar propriedades da razão áurea).
- Substituindo
em :
- Usar a identidade da razão áurea
. Portanto
- Assim
, e como segue
- Recordando a expressão de
,