partes Calcule a integral
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
que é simplesmente
Observação importante sobre domínio:
está definido para
, então a primitiva que encontrarmos vale em qualquer intervalo contido em
.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro a fórmula e de onde ela vem, explicada passo a passo.
Regra do produto (derivada): se
e
então
Integrando ambos os lados em
obtemos
O lado esquerdo integra para
. Então
Rearranjando,
Essa é a fórmula da integração por partes. Aqui:
-
é uma função que vamos escolher (no cálculo é conveniente que sua derivada seja mais simples), -
é a derivada de e costuma ser chamado de , - escrevemos
e , e a fórmula fica
Passo 3
Escolha das funções. Heurística simples: escolha
como algo que ao derivar fica mais simples, e
como algo que seja fácil de integrar. No nosso caso o integrando é
, então escolhemos
Agora calculamos
e
:
(Lembre que a derivada de
é
para
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula
com os
escolhidos:
Simplificando dentro da integral:
portanto
A integral de
é
, então
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar a resposta deve retornar o integrando.
Calcule
Calcule
confere perfeitamente. Lembre-se: a fórmula final vale para
.
Passo 6
Exemplo adicional para fixar: integral definida
.
Usando a primitiva ,
Usando a primitiva
Exemplo simples que mostra como aplicar a primitiva.