partes Calcule a integral \int 1 \cdot \ln (x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 1\cdot \ln(x)\,dx,
que é simplesmente
\int \ln(x)\,dx.
Observação importante sobre domínio: \ln(x) está definido para x>0, então a primitiva que encontrarmos vale em qualquer intervalo contido em (0,\infty).

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro a fórmula e de onde ela vem, explicada passo a passo.
Regra do produto (derivada): se u=u(x) e v=v(x) então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em x obtemos
\int \frac{d}{dx}\big(u v\big)\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx.
O lado esquerdo integra para u v. Então
u v = \int u'v\,dx + \int u v'\,dx.
Rearranjando,
\int u v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
Essa é a fórmula da integração por partes. Aqui:
  • u=u(x) é uma função que vamos escolher (no cálculo é conveniente que sua derivada seja mais simples),
  • v' é a derivada de v e v'\,dx costuma ser chamado de dv,
  • escrevemos du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx, e a fórmula fica
\int u\,dv = u v - \int v\,du.

Passo 3

Escolha das funções. Heurística simples: escolha u como algo que ao derivar fica mais simples, e dv como algo que seja fácil de integrar. No nosso caso o integrando é \ln(x), então escolhemos
u=\ln(x),\qquad dv=dx.
Agora calculamos du e v:
du=\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)\,dx=\frac{1}{x}\,dx,
v=\int dv=\int dx = x.
(Lembre que a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x} para x>0.)

Passo 4

Aplicando a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du com os u,dv,du,v escolhidos:
\int \ln(x)\,dx = u v - \int v\,du = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando dentro da integral:
x\cdot\frac{1}{x}=1,
portanto
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx.
A integral de 1 é x, então
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar a resposta deve retornar o integrando.
Calcule
\frac{d}{dx}\big(x\ln(x)-x\big) = \ln(x) + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x),
confere perfeitamente. Lembre-se: a fórmula final vale para x>0.

Passo 6

Exemplo adicional para fixar: integral definida \displaystyle \int_{1}^{e}\ln(x)\,dx.
Usando a primitiva x\ln(x)-x,
\left[x\ln(x)-x\right]_{1}^{e} = \big(e\cdot 1 - e\big) - \big(1\cdot 0 - 1\big) = 0 - (-1) = 1.
Exemplo simples que mostra como aplicar a primitiva.

Resposta

x\ln(x)-x + C

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