Exercício 8(*). A temperatura numa vizinhança da origem é dada pela função T(x, y)=T_{0}+ e^{y} \operatorname{sen} x. Encontre o caminho que uma partícula deve seguir para sair da origem e andar na direção com menor temperatura.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y)=T_{0}+e^{y}\sin x
e pede a curva que parte da origem (0,0) seguindo sempre a direção de maior decréscimo de T. Isso é o mesmo que mover-se ao longo das linhas de fluxo de -\nabla T, ou seja, satisfazer \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-T_{y}}{-T_{x}}=\frac{T_{y}}{T_{x}}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de T:
T_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(T_{0}+e^{y}\sin x\bigr)=e^{y}\cos x,
T_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(T_{0}+e^{y}\sin x\bigr)=e^{y}\sin x.

Passo 3

A inclinação da curva de descida satisfaz
\frac{dy}{dx}=\frac{T_{y}}{T_{x}} =\frac{e^{y}\sin x}{e^{y}\cos x} =\tan x.

Passo 4

Integramos a equação diferencial separando variáveis:
\int dy=\int \tan x\,dx \quad\Longrightarrow\quad y=-\ln\bigl|\cos x\bigr|+C.

Passo 5

Como a curva passa pela origem (x,y)=(0,0), temos
0=-\ln\bigl|\cos 0\bigr|+C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Logo o caminho é
y=-\ln\bigl(\cos x\bigr),
definido para \cos x>0, isto é x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).

Resposta

A partícula deve seguir a curva
y(x)=-\ln\bigl(\cos x\bigr),
iniciando em (0,0), para andar sempre na direção de menor temperatura.

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