Exercício 1. Considere a Lei de Gauss para o Campo Elétrico, uma das Equações de Maxwell.
a) Qual é a forma diferencial e integral da Lei de Gauss para o Campo Elétrico? Explique o significado físico de cada uma.
b) Em que situações práticas esta lei é fundamental para a análise de campos elétricos? Dê um exemplo.
c) Uma carga puntiforme Q=5 \mathrm{nC} está localizada na origem. Calcule a densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} a uma distância de 10 cm da origem no espaço livre.
d) Utilizando a Lei de Gauss integral, determine o fluxo elétrico total que atravessa uma superfície esférica de raio 20 cm centrada na carga puntiforme do item (c).

Passo 1

O enunciado trata da Lei de Gauss para o campo elétrico, uma das equações de Maxwell. Precisamos (a) escrever as formas integral e diferencial e explicar fisicamente cada uma; (b) indicar situações práticas em que ela é útil e dar um exemplo; (c) calcular a densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} a r=0{,}10,m para uma carga pontual Q=5,nC no vácuo; (d) usar a forma integral para achar o fluxo total em uma esfera de raio 0{,}20,m centrada na carga.

Passo 2

A forma integral da Lei de Gauss em termos da densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} é
\oint_{S}\mathbf{D}\!\cdot d\mathbf{S} \;=\; Q_{\mathrm{livre}},
onde S é uma superfície fechada e Q_{\mathrm{livre}} é a carga livre total dentro de S. Fisicamente, isso diz que todo o “fluxo” de linhas de \mathbf{D} que atravessa a superfície sai ou entra exatamente das cargas livres contidas nela.

Passo 3

A forma diferencial é
\nabla\!\cdot \mathbf{D} \;=\; \rho_{v},
onde \rho_{v} é a densidade volumétrica de carga livre. Pelo teorema da divergência, isso significa que, em cada ponto, a quantidade de linhas de \mathbf{D} “saindo” de um volume infinitesimal é igual à carga livre naquele volume.

Passo 4

Na prática, a Lei de Gauss é fundamental sempre que há alta simetria—esférica, cilíndrica ou planar—pois permite achar campos sem resolver integrais de Coulomb. Também serve para verificar se um conjunto de linhas de campo satisfaz conservação de carga (por exemplo, em dielétricos complexos).
Exemplo: no projeto de cabos coaxiais, usa-se um cilindro gaussiano concêntrico ao condutor interno para obter \mathbf{D}(r) e daí \mathbf{E}(r), o que facilita cálculo de capacitância e isolamento.

Passo 5

Para a carga pontual Q no vácuo, escolhemos uma superfície esférica de raio r. Como \mathbf{D} é radial e constante em módulo na esfera, da forma integral
D(r)\,4\pi r^{2} = Q
segue
\mathbf{D}(r) = \frac{Q}{4\pi r^{2}}\,\hat r.
Substituindo Q=5\times10^{-9},C e r=0{,}10,m:
D(0{,}10) = \frac{5\times10^{-9}}{4\pi\,(0{,}10)^{2}} \approx 3{,}98\times10^{-8}\;\mathrm{C/m^{2}}
no sentido radial. Logo \mathbf{D}(0{,}10)=3{,}98\times10^{-8}\,\hat r\;\mathrm{C/m^{2}}.

Passo 6

Para a esfera de raio 0{,}20,m, o fluxo total é
\Phi = \oint_{S}\mathbf{D}\!\cdot d\mathbf{S} = Q = 5\;\mathrm{nC}.

Resposta

(a) Integral:
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\mathrm{livre}},
que relaciona o fluxo total de \mathbf{D} à carga livre interna.
Diferencial:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{v},
que diz que a divergência local de \mathbf{D} equaliza a densidade de carga.
(b) É essencial sempre que a geometria do problema apresente simetria esférica, cilíndrica ou planar, pois simplifica muito o cálculo de campo. Exemplo: cálculo de campo em cabos coaxiais.
(c)
\displaystyle \mathbf{D}(0{,}10)=3{,}98\times10^{-8}\,\hat r\;\mathrm{C/m^{2}}.
(d)
Fluxo total pela esfera de raio 0{,}20,m:
\displaystyle \Phi =5\;\mathrm{nC}.

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