Exercício 9. A Lei de Gauss para o Campo Magnético e o conceito de fluxo.
Um campo magnético em uma região é dado por \mathbf{B}=\left(x y \mathbf{a}_{\mathbf{x}}+y z \mathbf{a}_{\mathbf{y}}+x z \mathbf{a}_{\mathbf{z}}\right) \mathrm{T}. Calcule a divergência de B.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo magnético
\mathbf{B} = x\,y\,\mathbf{a}_x + y\,z\,\mathbf{a}_y + x\,z\,\mathbf{a}_z
e pede para calcular a divergência de \mathbf{B}. O conteúdo aqui é a definição de divergência de um campo vetorial em coordenadas cartesianas, que se relaciona com a Lei de Gauss para o fluxo magnético. A definição é
\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}.

Passo 2

Identificamos as componentes de \mathbf{B}:
B_x = x\,y,\quad B_y = y\,z,\quad B_z = x\,z.
Agora calculamos a derivada parcial de B_x em relação a x:
\frac{\partial B_x}{\partial x} = \frac{\partial (x\,y)}{\partial x} = y.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de B_y em relação a y:
\frac{\partial B_y}{\partial y} = \frac{\partial (y\,z)}{\partial y} = z.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de B_z em relação a z:
\frac{\partial B_z}{\partial z} = \frac{\partial (x\,z)}{\partial z} = x.

Passo 5

Somando as três derivadas parciais, obtemos a divergência de \mathbf{B}:
\nabla\cdot\mathbf{B} = y + z + x = x + y + z.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{B} = x + y + z.

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