Exercício 2. Analise a Lei de Gauss para o Campo Magnético.
a) Qual é a forma diferencial e integral da Lei de Gauss para o Campo Magnético? O que essa lei implica sobre a existência de monopolos magnéticos?
b) Por que esta lei é frequentemente considerada menos intuitiva que a Lei de Gauss para o Campo Elétrico, e qual sua importância no estudo dos campos magnéticos?
c) Um campo de densidade de fluxo magnético é dado por \mathbf{B}=\left(x \mathbf{a}_{ \mathbf{x}}+2 y \mathbf{a}_{ \mathbf{y}}-\right.\left.3 z \mathbf{a}_{ \mathbf{z}}\right) T. Calcule \nabla \cdot \mathbf{B} em qualquer ponto do espaço.
d) Para o campo magnético do item (c), calcule o fluxo magnético total que atravessa uma superfície fechada (um cubo de lado 1 m com um dos vértices na origem e arestas alinhadas com os eixos cartesianos).

Passo 1

O exercício trata da Lei de Gauss para o campo magnético, que faz parte do conjunto de equações de Maxwell em eletromagnetismo. Vamos precisar conhecer a definição de divergência e fluxo de um campo vetorial, bem como o significado físico de monopolos magnéticos. Nos itens (a) e (b) exploramos a forma teórica da lei e seu contexto, e nos itens (c) e (d) aplicamos cálculo vetorial para encontrar divergência e fluxo magnético num campo dado.

Passo 2

Para a Lei de Gauss para o campo magnético temos duas formas equivalentes.
Forma diferencial:
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0.
Isto significa que, em qualquer ponto do espaço, a divergência do campo magnético \mathbf{B} é nula.
Forma integral:
\oint_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0,
onde a integral de superfície é tomada sobre uma superfície fechada S. Isso implica que o fluxo líquido de \mathbf{B} através de qualquer superfície fechada é zero. Fisicamente, essa lei indica que não existem “fontes” ou “sumidouros” de linhas de campo magnético, ou seja, não há monopolos magnéticos isolados.

Passo 3

A Lei de Gauss para o campo magnético é menos intuitiva que a sua versão elétrica porque, no caso elétrico, conhecemos cargas elétricas pontuais que funcionam como fontes + e sorvedouros - de linhas de campo. Já no magnetismo convencional não observamos cargas magnéticas isoladas, mas sempre dipolos (norte e sul juntos). Sua importância está em garantir a continuidade das linhas de campo magnético e em fornecer uma condição de consistência para as soluções das equações de Maxwell, influenciando a forma como tratamos configurações magnéticas e ondas eletromagnéticas.

Passo 4

Para o campo
\mathbf{B}(x,y,z)=x\,\mathbf{a}_{x}+2y\,\mathbf{a}_{y}-3z\,\mathbf{a}_{z},
calculamos a divergência usando
\nabla\cdot\mathbf{B}=\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}.
Aqui B_x=x, B_y=2y e B_z=-3z. Então
\frac{\partial B_x}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial B_y}{\partial y}=2,\quad \frac{\partial B_z}{\partial z}=-3,
logo
\nabla\cdot\mathbf{B}=1+2+(-3)=0.

Passo 5

O fluxo magnético total através de um cubo de aresta 1 m, com um vértice na origem e faces perpendiculares aos eixos, é
\Phi=\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Como \nabla\cdot\mathbf{B}=0 em todo o volume, pelo Teorema da Divergência temos
\Phi=\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{B})\,dV=0.
Alternativamente, poderíamos computar face a face, mas como a divergência é zero e o cubo é uma região fechada, o fluxo líquido é zero.

Resposta

a) Forma diferencial: \nabla\cdot\mathbf{B}=0. Forma integral:
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0.
Implica que não existem monopolos magnéticos isolados.
b) É menos intuitiva porque não se observam “cargas” magnéticas pontuais, apenas dipolos; sua importância está em assegurar a continuidade das linhas de \mathbf{B} e em ser condição fundamental nas equações de Maxwell.
c) \nabla\cdot\mathbf{B}=0.
d) Fluxo total \Phi=0.

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