Exercício 2. Analise a Lei de Gauss para o Campo Magnético.
a) Qual é a forma diferencial e integral da Lei de Gauss para o Campo Magnético? O que essa lei implica sobre a existência de monopolos magnéticos?
b) Por que esta lei é frequentemente considerada menos intuitiva que a Lei de Gauss para o Campo Elétrico, e qual sua importância no estudo dos campos magnéticos?
c) Um campo de densidade de fluxo magnético é dado por
T. Calcule
em qualquer ponto do espaço.
d) Para o campo magnético do item (c), calcule o fluxo magnético total que atravessa uma superfície fechada (um cubo de lado 1 m com um dos vértices na origem e arestas alinhadas com os eixos cartesianos).
a) Qual é a forma diferencial e integral da Lei de Gauss para o Campo Magnético? O que essa lei implica sobre a existência de monopolos magnéticos?
b) Por que esta lei é frequentemente considerada menos intuitiva que a Lei de Gauss para o Campo Elétrico, e qual sua importância no estudo dos campos magnéticos?
c) Um campo de densidade de fluxo magnético é dado por
d) Para o campo magnético do item (c), calcule o fluxo magnético total que atravessa uma superfície fechada (um cubo de lado 1 m com um dos vértices na origem e arestas alinhadas com os eixos cartesianos).
Passo 1
O exercício trata da Lei de Gauss para o campo magnético, que faz parte do conjunto de equações de Maxwell em eletromagnetismo. Vamos precisar conhecer a definição de divergência e fluxo de um campo vetorial, bem como o significado físico de monopolos magnéticos. Nos itens (a) e (b) exploramos a forma teórica da lei e seu contexto, e nos itens (c) e (d) aplicamos cálculo vetorial para encontrar divergência e fluxo magnético num campo dado.
Passo 2
Para a Lei de Gauss para o campo magnético temos duas formas equivalentes.
Forma diferencial:
Forma diferencial:
Isto significa que, em qualquer ponto do espaço, a divergência do campo magnético
é nula.
Forma integral:
Forma integral:
onde a integral de superfície é tomada sobre uma superfície fechada
. Isso implica que o fluxo líquido de
através de qualquer superfície fechada é zero. Fisicamente, essa lei indica que não existem “fontes” ou “sumidouros” de linhas de campo magnético, ou seja, não há monopolos magnéticos isolados.
Passo 3
A Lei de Gauss para o campo magnético é menos intuitiva que a sua versão elétrica porque, no caso elétrico, conhecemos cargas elétricas pontuais que funcionam como fontes
e sorvedouros
de linhas de campo. Já no magnetismo convencional não observamos cargas magnéticas isoladas, mas sempre dipolos (norte e sul juntos). Sua importância está em garantir a continuidade das linhas de campo magnético e em fornecer uma condição de consistência para as soluções das equações de Maxwell, influenciando a forma como tratamos configurações magnéticas e ondas eletromagnéticas.
Passo 4
Para o campo
calculamos a divergência usando
Aqui
,
e
. Então
logo
Passo 5
O fluxo magnético total através de um cubo de aresta
m, com um vértice na origem e faces perpendiculares aos eixos, é
Como
em todo o volume, pelo Teorema da Divergência temos
Alternativamente, poderíamos computar face a face, mas como a divergência é zero e o cubo é uma região fechada, o fluxo líquido é zero.
Resposta
a) Forma diferencial:
. Forma integral:
Implica que não existem monopolos magnéticos isolados.
b) É menos intuitiva porque não se observam “cargas” magnéticas pontuais, apenas dipolos; sua importância está em assegurar a continuidade das linhas de e em ser condição fundamental nas equações de Maxwell.
c) .
d) Fluxo total .
b) É menos intuitiva porque não se observam “cargas” magnéticas pontuais, apenas dipolos; sua importância está em assegurar a continuidade das linhas de
c)
d) Fluxo total