Exercício 3. Estude a Lei de Ampère-Maxwell.
a) Qual é a forma diferencial e integral da Lei de Ampère-Maxwell? Explique a contribuição do termo de corrente de deslocamento.
b) Por que a inclusão do termo de corrente de deslocamento por Maxwell foi crucial para a consistência da teoria eletromagnética e a previsão de ondas eletromagnéticas?
c) Uma região no espaço livre tem um campo elétrico
. Calcule a densidade de corrente de deslocamento
.
d) Se a densidade de corrente de condução em um meio com
é
, e o campo
do item (c) está presente, calcule
(forma diferencial da Lei de Ampère-Maxwell).
a) Qual é a forma diferencial e integral da Lei de Ampère-Maxwell? Explique a contribuição do termo de corrente de deslocamento.
b) Por que a inclusão do termo de corrente de deslocamento por Maxwell foi crucial para a consistência da teoria eletromagnética e a previsão de ondas eletromagnéticas?
c) Uma região no espaço livre tem um campo elétrico
d) Se a densidade de corrente de condução em um meio com
Passo 1
O enunciado pede para revisar a Lei de Ampère–Maxwell, isto é, a equação que relaciona o rotor do campo magnético
às correntes de condução e de deslocamento. Vamos precisar
- da forma diferencial e integral da lei,
- do conceito de corrente de deslocamento
, - de saber que em meio livre
, - e de calcular derivadas temporais de funções harmônicas.
Passo 2
A forma diferencial da Lei de Ampère–Maxwell é
onde
é a densidade de corrente de condução e
é a densidade de corrente de deslocamento.
A forma integral, em uma superfície limitada por uma curva
, é
A forma integral, em uma superfície
O termo
aparece para “completar” Ampère original, garantindo continuidade de corrente em regiões sem condutores.
Passo 3
Maxwell incluiu
para resolver duas inconsistências:
- Sem ele, em regiões de campo elétrico variável mas sem condutor (por ex. entre as placas de um capacitor), teríamos
mas , quebrando a continuidade de corrente. - Com o termo de deslocamento, as equações de Maxwell tornam-se simétricas e acopladas, levando à equação de onda para
e , o que permite prever a existência de ondas eletromagnéticas que se propagam no vácuo.
Passo 4
Dado
temos
Passo 5
A forma diferencial completa é
Como
e
do passo anterior, segue
Resposta
a) Forma diferencial:
Forma integral:
b) Porque o termo de deslocamento garante a continuidade de corrente em regiões sem condutor e torna possível derivar a equação de onda que descreve as ondas eletromagnéticas.
c)
c)
d)