Exercício 3. Estude a Lei de Ampère-Maxwell.
a) Qual é a forma diferencial e integral da Lei de Ampère-Maxwell? Explique a contribuição do termo de corrente de deslocamento.
b) Por que a inclusão do termo de corrente de deslocamento por Maxwell foi crucial para a consistência da teoria eletromagnética e a previsão de ondas eletromagnéticas?
c) Uma região no espaço livre tem um campo elétrico \mathbf{E}=50 \cos \left(1 \times 10^{8} t-\right.\left.\beta z\right) \mathbf{a}_{ \mathbf{x}} \mathrm{V} / \mathrm{m}. Calcule a densidade de corrente de deslocamento \mathbf{J}_{ \mathbf{d}}.
d) Se a densidade de corrente de condução em um meio com \mu_{r}=1 é \mathbf{J}_{ \mathbf{c}}= 2 \cos \left(1 \times 10^{8} t-\beta z\right) \mathbf{a}_{ \mathbf{x}} \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}, e o campo \mathbf{E} do item (c) está presente, calcule \nabla \times \mathbf{H} (forma diferencial da Lei de Ampère-Maxwell).

Passo 1

O enunciado pede para revisar a Lei de Ampère–Maxwell, isto é, a equação que relaciona o rotor do campo magnético \mathbf{H} às correntes de condução e de deslocamento. Vamos precisar
  1. da forma diferencial e integral da lei,
  2. do conceito de corrente de deslocamento \mathbf{J}_{d}=\partial \mathbf{D}/\partial t,
  3. de saber que em meio livre \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E},
  4. e de calcular derivadas temporais de funções harmônicas.

Passo 2

A forma diferencial da Lei de Ampère–Maxwell é
\nabla \times \mathbf{H} \;=\;\mathbf{J}_{c}\;+\;\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\,,
onde \mathbf{J}_{c} é a densidade de corrente de condução e \partial\mathbf{D}/\partial t é a densidade de corrente de deslocamento.
A forma integral, em uma superfície S limitada por uma curva C, é
\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\; \int_{S}\mathbf{J}_{c}\cdot d\mathbf{S} \;+\; \frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}\,.
O termo \partial\mathbf{D}/\partial t aparece para “completar” Ampère original, garantindo continuidade de corrente em regiões sem condutores.

Passo 3

Maxwell incluiu \partial\mathbf{D}/\partial t para resolver duas inconsistências:
  1. Sem ele, em regiões de campo elétrico variável mas sem condutor (por ex. entre as placas de um capacitor), teríamos \nabla\cdot\mathbf{J}_{c}=0 mas \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{H})\neq0, quebrando a continuidade de corrente.
  2. Com o termo de deslocamento, as equações de Maxwell tornam-se simétricas e acopladas, levando à equação de onda para \mathbf{E} e \mathbf{H}, o que permite prever a existência de ondas eletromagnéticas que se propagam no vácuo.

Passo 4

Dado
\mathbf{E}=50\cos\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x \quad\text{com}\;\omega=1\times10^{8}\,,
temos
\mathbf{D}=\epsilon_{0}\mathbf{E} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{J}_{d} =\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} =\epsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} =-\epsilon_{0}\,50\,\omega\, \sin\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x.

Passo 5

A forma diferencial completa é
\nabla\times\mathbf{H} =\mathbf{J}_{c}+\mathbf{J}_{d}.
Como \mathbf{J}_{c}=2\cos\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x e \mathbf{J}_{d} do passo anterior, segue
\nabla\times\mathbf{H} = 2\cos\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x \;-\; 50\,\omega\,\epsilon_{0}\, \sin\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x.

Resposta

a) Forma diferencial:
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{c} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
Forma integral:
\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\int_{S}\mathbf{J}_{c}\cdot d\mathbf{S} +\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}.
b) Porque o termo de deslocamento garante a continuidade de corrente em regiões sem condutor e torna possível derivar a equação de onda que descreve as ondas eletromagnéticas.
c)
\mathbf{J}_{d} =-\epsilon_{0}\,50\,(1\times10^{8}) \sin\bigl(10^{8}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x.
d)
\nabla\times\mathbf{H} =2\cos\bigl(10^{8}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x \;-\; 50\,(10^{8})\,\epsilon_{0}\, \sin\bigl(10^{8}t-\beta z\bigr)\,\mathbf{a}_x.

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