Como no Exercício 9, considere uma mola com uma massa m, constante da mola k e constante de amortecimento c=0, e seja omega=raizk / m. Se uma força externa F(t)=F0 cos omega t for aplicada (a frequência aplicada é igual à frequência natural), use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa é dado por
x(t)=c1 cos omega t+c2 sen omega t+F0 / 2 m omega t sen omega t

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação de movimento de uma mola sem amortecimento, massa m e constante k, sujeita a uma força externa F(t)=F₀ cos(ωt), sendo ω=√(k/m). O objetivo é usar coeficientes indeterminados e mostrar que x(t)=c₁ cosωt+c₂ senωt+(F₀/(2mω))·t·senωt.

Passo 2

Escrevemos a equação padrão dividindo por m:
x''+ω^2x=F₀mcos(ωt)
Note que a frequência de excitação ω coincide com a natural, então temos caso de ressonância.

Passo 3

A solução geral será soma da homogênea e de uma particular. A homogênea resolve
x''+ω^2x=0
cuja solução é
xh(t)=c1cos(ωt)+c2sin(ωt)

Passo 4

Para a parte particular, num caso ressonante a forma tentativa deve ter um fator t:
xp(t)=tl(Acos(ωt)+Bsin(ωt)r)

Passo 5

Calculamos derivadas:
xp'=Acos(ωt)+Bsin(ωt)+tl(-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)r),
xp''=-2Aωsin(ωt)+2Bωcos(ωt)+tl(-Aω^2cos(ωt)-Bω^2sin(ωt)r)
Substituindo em x’’+ω^2x só resta o termo não multiplicado por t:
-2Aωsin(ωt)+2Bωcos(ωt)=F₀mcos(ωt)

Passo 6

Igualando coeficientes obtemos -2Aω=0 ⇒ A=0 e 2Bω=F₀/m ⇒ B=F₀/(2mω). Logo
xp(t)=F₀2mω,t,sin(ωt)

Passo 7

Somando homogênea e particular, a solução completa é
x(t)=c1cos(ωt)+c2sin(ωt)+F₀2mω,t,sin(ωt),
que era o que queríamos mostrar.

Resposta

x(t)=c₁ cos(ωt)+c₂ sin(ωt)+\frac{F₀}{2mω}t sin(ωt)

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