Como no Exercício 9, considere uma mola com uma massa
, constante da mola
e constante de amortecimento
, e seja
. Se uma força externa
for aplicada (a frequência aplicada é igual à frequência natural), use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa é dado por
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação de movimento de uma mola sem amortecimento, massa m e constante k, sujeita a uma força externa F(t)=F₀ cos(ωt), sendo ω=√(k/m). O objetivo é usar coeficientes indeterminados e mostrar que x(t)=c₁ cosωt+c₂ senωt+(F₀/(2mω))·t·senωt.
Passo 2
Escrevemos a equação padrão dividindo por m:
Note que a frequência de excitação ω coincide com a natural, então temos caso de ressonância.
Passo 3
A solução geral será soma da homogênea e de uma particular. A homogênea resolve
cuja solução é
Passo 4
Para a parte particular, num caso ressonante a forma tentativa deve ter um fator t:
Passo 5
Calculamos derivadas:
Substituindo em x’’+ω^2x só resta o termo não multiplicado por t:
Passo 6
Igualando coeficientes obtemos -2Aω=0 ⇒ A=0 e 2Bω=F₀/m ⇒ B=F₀/(2mω). Logo
Passo 7
Somando homogênea e particular, a solução completa é
que era o que queríamos mostrar.
Resposta
x(t)=c₁ cos(ωt)+c₂ sin(ωt)+\frac{F₀}{2mω}t sin(ωt)