De acordo com a 2^{\text {a }} Lei de Newton e o Princípio de Archimedes, podemos, no estado de equilíbrio, relacionar o comprimento da parte submersa de um objeto (h) com sua massa (m) e a densidade do líquido no qual se encontra ( \rho ) como:
\rho=\frac{1}{A h} m,
onde A é a área da base do objeto (considere um corpo cilíndrico).
Suponha que no EXPERIMENTO SOBRE DENSIMETRIA tenha-se obtido os seguintes dados experimentais para a massa ( m ) e a para a quantidade submersa ( h ) do corpo cilíndrico (copo),
(h \pm \delta h) \mathrm{cm} 2,5 \pm 0,1 3,5 \pm 0,1 4,5 \pm 0,1
(m \pm \delta m) \mathrm{g} 105,0 \pm 1,1 145,0 \pm 1,5 190,0 \pm 1,9
Considerando que o diâmetro da base do copo seja D=(7,30 \pm 0,05) \mathrm{cm}, FAÇA:
Calcule o erro da densidade do líquido em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o erro (incerteza) da densidade do líquido em \mathrm{g/cm^{3}} a partir dos dados experimentais fornecidos.
Dados fornecidos (peguei todos esses números do enunciado):
  • Alturas submersas e suas incertezas:
    • h_{1}=(2{,}5\pm0{,}1)\\ \mathrm{cm}
    • h_{2}=(3{,}5\pm0{,}1)\\ \mathrm{cm}
    • h_{3}=(4{,}5\pm0{,}1)\\ \mathrm{cm}
  • Massas e suas incertezas:
    • m_{1}=(105{,}0\pm1{,}1)\\ \mathrm{g}
    • m_{2}=(145{,}0\pm1{,}5)\\ \mathrm{g}
    • m_{3}=(190{,}0\pm1{,}9)\\ \mathrm{g}
  • Diâmetro da base do copo:
    • D=(7{,}30\pm0{,}05)\\ \mathrm{cm}
Observação: queremos a incerteza da densidade \rho expressa em \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 2

Expressão da densidade a partir da relação dada. A área da base de um cilindro de diâmetro D é
A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}=\frac{\pi D^{2}}{4}.
A equação do enunciado é \rho=\dfrac{1}{A h}m. Substituindo A obtemos uma forma prática para calcular \rho:
\rho=\frac{m}{A h}=\frac{4m}{\pi D^{2} h}.
Aqui:
  • m é a massa (em \mathrm{g}),
  • D é o diâmetro da base (em \mathrm{cm}),
  • h é a altura submersa (em \mathrm{cm}),
  • \rho ficará em \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 3

Como propagar incertezas. Para uma variável que é produto ou quociente de medidas, é prático usar erros relativos. Para
\rho \propto m\, D^{-2}\, h^{-1},
a incerteza relativa de \rho (assumindo erros independentes e pequenas) é dada por:
\frac{\delta\rho}{\rho}=\sqrt{\left(\frac{\delta m}{m}\right)^{2} +\left(2\,\frac{\delta D}{D}\right)^{2} +\left(\frac{\delta h}{h}\right)^{2}}.
Explicação curta (tipo aula rápida): isso vem de fazer logaritmo da expressão e linearizar (ou usar derivadas parciais) — potências viram fatores multiplicativos na incerteza relativa. Cada incerteza relativa entra ao quadrado e somam-se porque são independentes; depois tira-se raiz quadrada.

Passo 4

Cálculo dos valores numéricos necessários para cada medida. Primeiro computo a área da base (valor único a partir de D) para referência:
\frac{D}{2}=\frac{7{,}30}{2}=3{,}65\\ \mathrm{cm}, \qquad A=\pi(3{,}65)^{2}=\pi\cdot13{,}3225\approx41{,}8506\\ \mathrm{cm^{2}}.
(Usei \pi\approx3{,}14159265.)
Agora vou calcular \rho e \delta\rho para cada trio (m_i,h_i) usando a fórmula \rho=\dfrac{m}{A h} e a fórmula de propagação do Passo 3.
Passo a passo para a medida 1 ( m_{1},h_{1}):
  • Produto A h_{1}: A h_{1}=41{,}8506\cdot2{,}5=104{,}6265\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Densidade calculada: \rho_{1}=\frac{m_{1}}{A h_{1}}=\frac{105{,}0}{104{,}6265}\approx1{,}00364\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Cálculo das incertezas relativas: \frac{\delta m_{1}}{m_{1}}=\frac{1{,}1}{105{,}0}=0{,}010476\ldots, \quad \frac{\delta D}{D}=\frac{0{,}05}{7{,}30}=0{,}0068493\ldots, \quad \frac{\delta h_{1}}{h_{1}}=\frac{0{,}1}{2{,}5}=0{,}04.Então \frac{\delta\rho_{1}}{\rho_{1}}=\sqrt{(0{,}010476)^{2}+(2\cdot0{,}0068493)^{2}+(0{,}04)^{2}} \approx0{,}04356.
  • Incerteza absoluta: \delta\rho_{1}=\rho_{1}\cdot0{,}04356\approx1{,}00364\cdot0{,}04356\approx0{,}0438\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 5

Cálculo para a medida 2 ( m_{2},h_{2}):
  • Produto A h_{2}: A h_{2}=41{,}8506\cdot3{,}5=146{,}4771\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Densidade: \rho_{2}=\frac{145{,}0}{146{,}4771}\approx0{,}99053\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Incertezas relativas: \frac{\delta m_{2}}{m_{2}}=\frac{1{,}5}{145{,}0}=0{,}0103448\ldots, \quad \frac{\delta h_{2}}{h_{2}}=\frac{0{,}1}{3{,}5}=0{,}0285714\ldotsMantendo \delta D/D igual como antes, obtemos \frac{\delta\rho_{2}}{\rho_{2}}=\sqrt{(0{,}010345)^{2}+(2\cdot0{,}0068493)^{2}+(0{,}0285714)^{2}} \approx0{,}03334.
  • Incerteza absoluta: \delta\rho_{2}=\rho_{2}\cdot0{,}03334\approx0{,}99053\cdot0{,}03334\approx0{,}0330\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 6

Cálculo para a medida 3 ( m_{3},h_{3}):
  • Produto A h_{3}: A h_{3}=41{,}8506\cdot4{,}5=188{,}3277\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Densidade: \rho_{3}=\frac{190{,}0}{188{,}3277}\approx1{,}00893\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Incertezas relativas: \frac{\delta m_{3}}{m_{3}}=\frac{1{,}9}{190{,}0}=0{,}01, \quad \frac{\delta h_{3}}{h_{3}}=\frac{0{,}1}{4{,}5}=0{,}0222222\ldotsMantendo \delta D/D igual, obtemos \frac{\delta\rho_{3}}{\rho_{3}}=\sqrt{(0{,}01)^{2}+(2\cdot0{,}0068493)^{2}+(0{,}0222222)^{2}} \approx0{,}02796.
  • Incerteza absoluta: \delta\rho_{3}=\rho_{3}\cdot0{,}02796\approx1{,}00893\cdot0{,}02796\approx0{,}0282\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 7

(Extra útil para relatórios) Combinar as três medidas em uma estimativa única com erro associado usando média ponderada (peso w_{i}=1/\sigma_{i}^{2}). Isso dá uma estimativa mais precisa se as incertezas individuais forem honestas.
  • Valores obtidos: \rho_{1}=1{,}00364,\\ \delta\rho_{1}=0{,}0438; \quad \rho_{2}=0{,}99053,\\ \delta\rho_{2}=0{,}0330; \quad \rho_{3}=1{,}00893,\\ \delta\rho_{3}=0{,}0282.
  • Pesos: w_{i}=\frac{1}{(\delta\rho_{i})^{2}}\Rightarrow w_{1}\approx522{,}0,\\ w_{2}\approx916{,}9,\\ w_{3}\approx1265{,}5.
  • Média ponderada: \bar{\rho}=\frac{\sum \rho_{i}w_{i}}{\sum w_{i}}\approx\frac{523{,}9+908{,}4+1277{,}8}{2704{,}4}\approx1{,}0021\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Incerteza da média: \delta\bar{\rho}=\frac{1}{\sqrt{\sum w_{i}}}\approx\frac{1}{\sqrt{2704{,}4}}\approx0{,}0192\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Resposta

\delta\rho_{1}=0{,}0438\\ \mathrm{g/cm^{3}} (para h_{1}=2{,}5\\ \mathrm{cm})
\delta\rho_{2}=0{,}0330\\ \mathrm{g/cm^{3}} (para h_{2}=3{,}5\\ \mathrm{cm})
\delta\rho_{3}=0{,}0282\\ \mathrm{g/cm^{3}} (para h_{3}=4{,}5\\ \mathrm{cm})
Estimativa combinada: \rho=(1{,}0021\pm0{,}0192)\\ \mathrm{g/cm^{3}}

Exercícios relacionados