De acordo com a
Lei de Newton e o Princípio de Archimedes, podemos, no estado de equilíbrio, relacionar o comprimento da parte submersa de um objeto (h) com sua massa (m) e a densidade do líquido no qual se encontra (
) como:
onde
é a área da base do objeto (considere um corpo cilíndrico).
Suponha que no EXPERIMENTO SOBRE DENSIMETRIA tenha-se obtido os seguintes dados experimentais para a massa (
) e a para a quantidade submersa (
) do corpo cilíndrico (copo),
Considerando que o diâmetro da base do copo seja
, FAÇA:
Calcule o erro da densidade do líquido em
.
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Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o erro (incerteza) da densidade do líquido em
a partir dos dados experimentais fornecidos.
Dados fornecidos (peguei todos esses números do enunciado):
- Alturas submersas e suas incertezas:
-
- Massas e suas incertezas:
-
- Diâmetro da base do copo:
-
Observação: queremos a incerteza da densidade
expressa em
.
Passo 2
Expressão da densidade a partir da relação dada. A área da base de um cilindro de diâmetro
é
A equação do enunciado é
. Substituindo
obtemos uma forma prática para calcular
:
Aqui:
-
é a massa (em ), -
é o diâmetro da base (em ), -
é a altura submersa (em ), -
ficará em .
Passo 3
Como propagar incertezas. Para uma variável que é produto ou quociente de medidas, é prático usar erros relativos. Para
a incerteza relativa de
(assumindo erros independentes e pequenas) é dada por:
Explicação curta (tipo aula rápida): isso vem de fazer logaritmo da expressão e linearizar (ou usar derivadas parciais) — potências viram fatores multiplicativos na incerteza relativa. Cada incerteza relativa entra ao quadrado e somam-se porque são independentes; depois tira-se raiz quadrada.
Passo 4
Cálculo dos valores numéricos necessários para cada medida. Primeiro computo a área da base (valor único a partir de
) para referência:
(Usei
.)
Agora vou calcular
e
para cada trio
usando a fórmula
e a fórmula de propagação do Passo 3.
Passo a passo para a medida 1 (
):
- Produto
: - Densidade calculada:
- Cálculo das incertezas relativas:
Então - Incerteza absoluta:
Passo 5
Cálculo para a medida 2 (
):
- Produto
: - Densidade:
- Incertezas relativas:
Mantendo igual como antes, obtemos - Incerteza absoluta:
Passo 6
Cálculo para a medida 3 (
):
- Produto
: - Densidade:
- Incertezas relativas:
Mantendo igual, obtemos - Incerteza absoluta:
Passo 7
(Extra útil para relatórios) Combinar as três medidas em uma estimativa única com erro associado usando média ponderada (peso
). Isso dá uma estimativa mais precisa se as incertezas individuais forem honestas.
- Valores obtidos:
- Pesos:
- Média ponderada:
- Incerteza da média:
Resposta
Estimativa combinada: