De acordo com a 2^{\text {a }} Lei de Newton e o Princípio de Archimedes, podemos, no estado de equilíbrio, relacionar o comprimento da parte submersa de um objeto (h) com sua massa (m) e a densidade do líquido no qual se encontra ( \rho ) como:
\rho=\frac{1}{A h} m,
onde A é a área da base do objeto (considere um corpo cilíndrico).
Suponha que no EXPERIMENTO SOBRE DENSIMETRIA tenha-se obtido os seguintes dados experimentais para a massa ( m ) e a para a quantidade submersa ( h ) do corpo cilíndrico (copo),
(h \pm \delta h) \mathrm{cm} 2,5 \pm 0,1 3,5 \pm 0,1 4,5 \pm 0,1
(m \pm \delta m) \mathrm{g} 105,0 \pm 1,1 145,0 \pm 1,5 190,0 \pm 1,9
Considerando que o diâmetro da base do copo seja D=(7,30 \pm 0,05) \mathrm{cm}, FAÇA:
Suponha que você coloque mais areia dentro do copo, coloque-o novamente a flutuar no líquido e verifique que o comprimento submerso, h, seja de ( 4,0 \pm 0,1 ) cm . Indique quanto vale a massa (em g) do copo nessa nova situação.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado e da tabela):
  • Relação entre densidade, massa, área da base e parte submersa: \rho=\frac{1}{A h}m.
  • Dados experimentais (cada par é (h\pm\delta h) e (m\pm\delta m), peguei da tabela):
    • h_1=(2,5\pm0,1)\\ \mathrm{cm}, m_1=(105,0\pm1,1)\\ \mathrm{g}.
    • h_2=(3,5\pm0,1)\\ \mathrm{cm}, m_2=(145,0\pm1,5)\\ \mathrm{g}.
    • h_3=(4,5\pm0,1)\\ \mathrm{cm}, m_3=(190,0\pm1,9)\\ \mathrm{g}.
  • Diâmetro da base (pego do enunciado): D=(7,30\pm0,05)\\ \mathrm{cm}.
  • Situação nova (o que o enunciado pede): ao colocar mais areia, mediu-se h_{\text{novo}}=(4,0\pm0,1)\\ \mathrm{cm}. Pergunta: indicar a massa m_{\text{novo}} do copo nessa nova situação (em \mathrm{g}).

Passo 2

Plano de ataque e justificativa do método escolhido
  • Da relação \rho=\dfrac{m}{A h} isolamos a massa: m=\rho A h.
  • A densidade do líquido \rho não é dada diretamente, mas pode ser estimada usando os três pares (h_i,m_i) medidos com a mesma base A. Métodos possíveis:
    • Ajuste linear forçando intercepto zero (regressão) para obter a taxa m/h=\rho A.
    • Calcular \rho em cada ponto por \rho_i=m_i/(A h_i) e fazer média ponderada das \rho_i.
  • Escolhi a segunda abordagem (método direto e elementar) porque é simples, transparente para propagar incertezas ponto a ponto e apropriado com apenas três medidas. É equivalente ao ajuste linear com intercepto zero quando as incertezas são tratadas corretamente.
Agora vamos calcular passo a passo: (a) área da base A e sua incerteza; (b) estimativas \rho_i com incertezas; (c) média ponderada de \rho; (d) calcular m_{\text{novo}} e sua incerteza.

Passo 3

Cálculo da área da base A do cilindro e incerteza
  • Fórmula da área da base em função do diâmetro:
A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde D é o diâmetro da base.
  • Substituindo D=(7,30\pm0,05)\\ \mathrm{cm}:
A=\frac{\pi (7,30)^{2}}{4}\approx 41,84\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Incerteza relativa de A: como A\propto D^{2},
\frac{\delta A}{A}=2\frac{\delta D}{D}.
Logo
\frac{\delta A}{A}=2\frac{0,05}{7,30}\approx0,01370\quad(\text{ou }1,37\%).
  • Incerteza absoluta:
\delta A = A\cdot\frac{\delta A}{A}\approx 41,84\times0,01370\approx0,57\\ \mathrm{cm^{2}}.
Assim:
A=(41,84\pm0,57)\\ \mathrm{cm^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \rho_i e incerteza em cada medida (usei os pares (h_i,m_i) da tabela)
  • Fórmula para cada ponto:
\rho_i=\frac{m_i}{A h_i}.
  • Propagação de incerteza (aplicando aproximação linear para erros pequenos): as variáveis m_i, A e h_i são independentes, então a incerteza relativa em \rho_i é
\frac{\delta\rho_i}{\rho_i}=\sqrt{\left(\frac{\delta m_i}{m_i}\right)^{2}+\left(\frac{\delta A}{A}\right)^{2}+\left(\frac{\delta h_i}{h_i}\right)^{2}}.
Agora os cálculos numéricos (cada valor foi calculado usando A=41,84\\ \mathrm{cm^{2}} e \delta A/A=0,01370):
  • Para i=1: h_1=2,5\\ \mathrm{cm}, m_1=105,0\\ \mathrm{g}.
    \rho_1=\frac{105,0}{41,84\cdot2,5}\approx1,004\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    Cálculo das frações relativas:
    \delta m_1/m_1=1,1/105,0\approx0,01048,
    \delta h_1/h_1=0,1/2,5=0,04.
    Portanto
    \frac{\delta\rho_1}{\rho_1}\approx\sqrt{0,01048^{2}+0,01370^{2}+0,04^{2}}\approx0,0436.
    Assim
    \rho_1=(1,004\pm0,044)\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Para i=2: h_2=3,5\\ \mathrm{cm}, m_2=145,0\\ \mathrm{g}.
    \rho_2=\frac{145,0}{41,84\cdot3,5}\approx0,991\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    Frações: \delta m_2/m_2=1,5/145,0\approx0,01034, \delta h_2/h_2=0,1/3,5\approx0,02857.
    \frac{\delta\rho_2}{\rho_2}\approx\sqrt{0,01034^{2}+0,01370^{2}+0,02857^{2}}\approx0,0333.
    Logo
    \rho_2=(0,991\pm0,033)\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Para i=3: h_3=4,5\\ \mathrm{cm}, m_3=190,0\\ \mathrm{g}.
    \rho_3=\frac{190,0}{41,84\cdot4,5}\approx1,009\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    Frações: \delta m_3/m_3=1,9/190,0=0,01000, \delta h_3/h_3=0,1/4,5\approx0,02222.
    \frac{\delta\rho_3}{\rho_3}\approx\sqrt{0,01000^{2}+0,01370^{2}+0,02222^{2}}\approx0,02796.
    Assim
    \rho_3=(1,009\pm0,028)\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Observação: os três valores são consistentes entre si e próximos de 1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}} (água), o que faz sentido físico.

Passo 5

Média ponderada das \rho_i (estimativa final de \rho com menor incerteza)
  • Para combinar estimativas independentes com incertezas diferentes usa-se média ponderada com pesos w_i=1/\sigma_i^{2}, onde \sigma_i é a incerteza absoluta de \rho_i.
  • Cálculo (resumo numérico):
    • \rho_1=(1,004\pm0,044), peso w_1\approx1/(0,044)^{2}.
    • \rho_2=(0,991\pm0,033), peso w_2\approx1/(0,033)^{2}.
    • \rho_3=(1,009\pm0,028), peso w_3\approx1/(0,028)^{2}.
  • A média ponderada é
\bar{\rho}=\frac{\sum_i w_i \rho_i}{\sum_i w_i}, \qquad \delta\bar{\rho}=\sqrt{\frac{1}{\sum_i w_i}}.
  • Avaliando numericamente chega-se a
\bar{\rho}=(1,001\pm0,019)\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
(Detalhes numéricos: \bar{\rho}\approx1,0011 e \delta\bar{\rho}\approx0,0192; arredondei para três algarismos significativos na incerteza.)

Passo 6

Cálculo da massa nova m_{\text{novo}} para h_{\text{novo}}=(4,0\pm0,1)\\ \mathrm{cm}
  • Fórmula direta:
m_{\text{novo}}=\bar{\rho}\,A\,h_{\text{novo}}.
  • Propagação de incerteza relativa (assumindo \bar{\rho}, A e h_{\text{novo}} independentes):
\frac{\delta m_{\text{novo}}}{m_{\text{novo}}}=\sqrt{\left(\frac{\delta\bar{\rho}}{\bar{\rho}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta A}{A}\right)^{2}+\left(\frac{\delta h_{\text{novo}}}{h_{\text{novo}}}\right)^{2}}.
  • Substituindo valores numéricos:
    • \bar{\rho}=1,001, \delta\bar{\rho}=0,019 \Rightarrow \delta\bar{\rho}/\bar{\rho}\approx0,019.
    • A=41,84, \delta A/A\approx0,01370.
    • h_{\text{novo}}=4,0, \delta h_{\text{novo}}/h_{\text{novo}}=0,1/4,0=0,025.
  • Cálculo do valor:
m_{\text{novo}}=1,001\times41,84\times4,0\approx167,6\\ \mathrm{g}.
  • Cálculo da incerteza relativa:
\frac{\delta m_{\text{novo}}}{m_{\text{novo}}}\approx\sqrt{0,019^{2}+0,01370^{2}+0,025^{2}}\approx0,0344.
  • Incerteza absoluta:
\delta m_{\text{novo}}\approx0,0344\times167,6\approx5,8\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final (estou contigo: resultado coerente com densidade ≈1,00)
  • Resultado com arredondamento compatível com a incerteza (erro com um algarismo significativo):
m_{\text{novo}}=(168\pm6)\\ \mathrm{g}.
Isto significa que, com as incertezas medidas, a massa do copo com a nova carga de areia e h=4,0\\ \mathrm{cm} é aproximadamente 168\\ \mathrm{g}, com incerteza de cerca de 6\\ \mathrm{g}.

Resposta

m_{\text{novo}}=(168\pm6)\\ \mathrm{g}

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