De acordo com a
Lei de Newton e o Princípio de Archimedes, podemos, no estado de equilíbrio, relacionar o comprimento da parte submersa de um objeto (h) com sua massa (m) e a densidade do líquido no qual se encontra (
) como:
onde
é a área da base do objeto (considere um corpo cilíndrico).
Suponha que no EXPERIMENTO SOBRE DENSIMETRIA tenha-se obtido os seguintes dados experimentais para a massa (
) e a para a quantidade submersa (
) do corpo cilíndrico (copo),
Considerando que o diâmetro da base do copo seja
, FAÇA:
Suponha que você coloque mais areia dentro do copo, coloque-o novamente a flutuar no líquido e verifique que o comprimento submerso,
, seja de (
) cm . Indique quanto vale a massa (em g) do copo nessa nova situação.
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Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado e da tabela):
- Relação entre densidade, massa, área da base e parte submersa:
- Dados experimentais (cada par é
e , peguei da tabela): -
, . -
, . -
, .
-
- Diâmetro da base (pego do enunciado):
. - Situação nova (o que o enunciado pede): ao colocar mais areia, mediu-se
. Pergunta: indicar a massa do copo nessa nova situação (em ).
Passo 2
Plano de ataque e justificativa do método escolhido
- Da relação
isolamos a massa: - A densidade do líquido
não é dada diretamente, mas pode ser estimada usando os três pares medidos com a mesma base . Métodos possíveis: - Ajuste linear forçando intercepto zero (regressão) para obter a taxa
. - Calcular
em cada ponto por e fazer média ponderada das .
- Ajuste linear forçando intercepto zero (regressão) para obter a taxa
- Escolhi a segunda abordagem (método direto e elementar) porque é simples, transparente para propagar incertezas ponto a ponto e apropriado com apenas três medidas. É equivalente ao ajuste linear com intercepto zero quando as incertezas são tratadas corretamente.
Agora vamos calcular passo a passo: (a) área da base
e sua incerteza; (b) estimativas
com incertezas; (c) média ponderada de
; (d) calcular
e sua incerteza.
Passo 3
Cálculo da área da base
do cilindro e incerteza
- Fórmula da área da base em função do diâmetro:
onde
é o diâmetro da base.
- Substituindo
:
- Incerteza relativa de
: como ,
Logo
- Incerteza absoluta:
Assim:
Passo 4
Cálculo de
e incerteza em cada medida (usei os pares
da tabela)
- Fórmula para cada ponto:
- Propagação de incerteza (aplicando aproximação linear para erros pequenos): as variáveis
, e são independentes, então a incerteza relativa em é
Agora os cálculos numéricos (cada valor foi calculado usando
e
):
-
Para
: , . Cálculo das frações relativas:
,
.
PortantoAssim -
Para
: , . Frações:, . Logo -
Para
: , . Frações:, . Assim
Observação: os três valores são consistentes entre si e próximos de
(água), o que faz sentido físico.
Passo 5
Média ponderada das
(estimativa final de
com menor incerteza)
- Para combinar estimativas independentes com incertezas diferentes usa-se média ponderada com pesos
, onde é a incerteza absoluta de . - Cálculo (resumo numérico):
-
, peso . -
, peso . -
, peso .
-
- A média ponderada é
- Avaliando numericamente chega-se a
(Detalhes numéricos:
e
; arredondei para três algarismos significativos na incerteza.)
Passo 6
Cálculo da massa nova
para
- Fórmula direta:
- Propagação de incerteza relativa (assumindo
, e independentes):
- Substituindo valores numéricos:
-
, . -
, . -
, .
-
- Cálculo do valor:
- Cálculo da incerteza relativa:
- Incerteza absoluta:
Passo 7
Arredondamento e interpretação final (estou contigo: resultado coerente com densidade ≈1,00)
- Resultado com arredondamento compatível com a incerteza (erro com um algarismo significativo):
Isto significa que, com as incertezas medidas, a massa do copo com a nova carga de areia e
é aproximadamente
, com incerteza de cerca de
.