Exercício 3. Considere o sinal em tempo contínuo x:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} definido por x(t)=\operatorname{sen}(2 \pi t) para todo t \geq 0. A amostragem desse sinal por um tempo de amostragem T é dado pelo sinal x_{d}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} definido por
x_{d}[n]=x(n T), n \in \mathbb{N}
(a) Esboce no mesmo gráfico o sinal x e o sinal x_{d}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} obtido após ser aplicado uma amostragem de T=0.25 \mathrm{~s}.
(b) Existe um período de amostragem T tal que a amostragem do sinal resulte em um sinal x_{d} constante?

Passo 1

O enunciado define o sinal contínuo
x(t)=\sin\bigl(2\pi t\bigr),\quad t\ge0
e sua amostragem
x_{d}[n]=x(nT)=\sin\bigl(2\pi\,nT\bigr),\quad n\in\mathbb{N}.
Precisamos (a) esboçar no mesmo gráfico x(t) e os pontos \{x_{d}[n]\} para T=0{,}25 s; (b) verificar se existe T que faz x_{d}[n] constante.

Passo 2

Para T=0{,}25 s temos
x_{d}[n]=\sin\bigl(2\pi\,n\cdot0{,}25\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}n\bigr).
Listemos os primeiros valores: \,n=0\!\implies\sin0=0, \,n=1\!\implies\sin\!\tfrac{\pi}{2}=1, \,n=2\!\implies\sin\pi=0, \,n=3\!\implies\sin\tfrac{3\pi}{2}=-1, \,n=4\!\implies\sin2\pi=0,
Logo a sequência amostrada é
\{x_{d}[n]\}=\{0,\,1,\,0,\,-1,\,0,\dots\}.

Passo 3

No esboço, desenhe a curva contínua x(t)=\sin(2\pi t) (período 1 s) e sobre ela marque, em t=n\cdot0{,}25, os pontos
(t,x(t))=\bigl(n\cdot0{,}25,\;0,1,0,-1,0,\dots\bigr).
Isso mostra como os pontos amostrados “saltam” na senoide.

Passo 4

Queremos x_{d}[n]=\sin(2\pi nT) constante em n. Seja esse valor constante C.
Para que \sin(2\pi nT)=C para todo n, só há possibilidade não-trivial se C=0 e
2\pi T = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
pois então \sin\bigl(2\pi nT\bigr)=\sin(k\pi n)=0. Logo
T=\frac{k}{2},\quad k\in\mathbb{Z},
torna x_{d}[n]\equiv0, um sinal constante.

Resposta

(a) O gráfico exibe a senoide de período 1 s e, em t=n\cdot0{,}25, pontos com valores \{0,1,0,-1,0,\dots\}.
(b) Sim. Para
T=\frac{k}{2}\quad\bigl(k\in\mathbb{Z}\bigr)
temos x_{d}[n]=0 para todo n, ou seja, um sinal constante.

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